Question

Отметим на числовой прямой точки, дающие при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, дающие при делении на 18 остаток 13-синим. каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?

Answer 1

Прикрепляю..........................

Answer 2

Отметим на числовой прямой точки, дающие при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, дающие при делении на 18 остаток 13-синим. Каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?
-------------------------------------------------
Очевидно :
n₁  =12q₁ + 5 ( отмечены красным карандашом);  
n₂ =18q₂ + 13 (отмечены синим карандашом ) .
Расстояние между этими точками будет:
d=| n₁  - n₂ | = |12q₁ + 5  -( 18q₂ + 13) | = | 6(2q₁ -3q₂) - 8 | .
Значение выражения (2q₁ -3q₂) должна быть  не отрицательной (d  ≥0)
если :
2q₁ -3q₂ =0 ⇒ d =8 ;
---
2q₁ -3q₂ =1 ⇒ d =2 ;
---
2q₁ -3q₂ =2 ⇒ d =4 ;
2q₁ -3q₂ =3 ⇒ d =10  ;
и т.д.  расстояние  увеличивается.
Получается  d =dmin=2 , если уравнение 2q₁ -3q₂ =1  будет иметь целочисленное решение и оно имеет. 
Действительно:
2q₁ -3q₂ =1 ⇔2q₁ =3q₂+1 ⇔q₁ =q₂ +(q₂+1)/2 ,
замена (q₂+1)/2 =t  ∈ Z  ⇒ q₂ =2t -1  и q₁ =q₂ +(q₂+1)/2= 2t -1  +t =3t -1.
{q₁ =3t - 1 ; q₂ =2t -1 . 
Соответственно :
{ n₁  =12q₁ + 5  =36t -7  ; n₂ =18q₂ + 13 =36t -5  ; t ∈Z.
Бесконечно  множество  точек :
например:
t=-1⇒n₁ = - 43 ; n₂  = - 41 ;
t=0 ⇒n₁ =   -7 ;  n₂  = - 5 ;
t=1 ⇒n₁ =   29 ;  n₂  = 31 ....

ответ  : d min =2 .  

* * * между точками n₁  =36t -7  и   n₂ =36t -5  ; t ∈Z  * * *

Answer 3

Чтобы найти точки, дающие при делении на 12 остаток 5, нужно найти все числа, которые удовлетворяют условию x ≡ 5 (mod 12). Это означает, что x должно быть на 5 больше какого-то числа, кратного 12. То есть x = 12n + 5, где n - целое число.

Аналогично, чтобы найти точки, дающие при делении на 18 остаток 13, нужно найти все числа, которые удовлетворяют условию x ≡ 13 (mod 18). Это означает, что x должно быть на 13 больше какого-то числа, кратного 18. То есть x = 18m + 13, где m - целое число.

Чтобы найти наименьшее расстояние между двумя точками, нужно найти разность между ними и взять модуль этой разности. Расстояние между двумя точками x и y на числовой прямой равно |x - y|.

Теперь найдем точки, удовлетворяющие условиям:

Для деления на 12 остаток 5: x = 12n + 5, где n - целое число.

Для деления на 18 остаток 13: x = 18m + 13, где m - целое число.

Чтобы найти наименьшее расстояние между этими двумя точками, найдем их разность и возьмем модуль:

|x - y| = |(12n + 5) - (18m + 13)| = |12n - 18m - 8|

Мы хотим найти наименьшее значение этого выражения. Заметим, что разность 12n - 18m является кратной 6 для любых целых n и m, так как ее можно записать как 6(2n - 3m). Поэтому для нахождения наименьшего значения выражения |12n - 18m - 8|, достаточно найти минимальное значение для 2n - 3m.

Минимальное значение для 2n - 3m достигается, когда n и m имеют наименьшие возможные значения. Наименьшие значения для n и m можно найти, подставив в выражения для x значения, дающие остатки 5 и 13:

n = 0, m = 0

Теперь мы можем найти значение 2n - 3m:

2n - 3m = 2(0) - 3(0) = 0

Таким образом, наименьшее расстояние между красной и синей точкой на числовой прямой равно 0.