Question

Довести що вираз 3^1+3^2+3^3......+3^100 ділиться націло на 120)))допоможіть будь ласка

Answer 1

$3^1+3^2+3^3+...+3^{100}=$
$=(3^1+3^2+3^3+3^4)+(3^5+3^6+3^7+3^8)+...+(3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100})=$
$=(3^1+3^2+3^3+3^4)+3^4*(3^1+3^2+3^3+3^4)+...+3^{96}*(3^1+3^2+3^3+3^4)=$
$=(1+3^4+3^8+...+3^{96})*(3^1+3^2+3^3+3^4)=$
$(1+3^4+3^8+...+3^{96})*(3+9+27+81)=$
$(1+3^4+3^8+...+3^{96})*120$ а отже кратне дане число кратне 120
доведено

Answer 2

Для доведення того, що вираз 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 ділиться націло на 120, спочатку знайдемо остачу від ділення кожного доданку на 120.

Остача від ділення 3 на 120 дорівнює 3. Остача від ділення 3^2 на 120 дорівнює (3 * 3) % 120 = 9 % 120 = 9. Остача від ділення 3^3 на 120 дорівнює (3 * 3 * 3) % 120 = 27 % 120 = 27.

Можна помітити, що остача від ділення 3^k на 120 буде дорівнювати остачі від ділення 3^(k-1) на 120, помноженій на 3. Тобто, остача від ділення 3^k на 120 дорівнює (3 * остача від ділення 3^(k-1) на 120) % 120.

Таким чином, остачі від ділення кожного доданку на 120 утворюють послідовність: 3, 9, 27, 81, 243, ...

Зауважимо, що остача від ділення 3^k на 120 повторюється з періодом 4: 3, 9, 27, 81, 3, 9, 27, 81, ...

Тепер розглянемо суму цих остач: 3 + 9 + 27 + 81 + 3 + 9 + 27 + 81 + ... + 3 + 9 + 27 + 81.

Ця сума складається з 25 груп по 4 однакових доданки. Отже, її можна переписати як (3 + 9 + 27 + 81) * 25.

Знаходимо суму перших 4 однакових доданків: 3 + 9 + 27 + 81 = 120.

Таким чином, сума остач дорівнює 120 * 25 = 3000.

Оскільки сума остач ділиться націло на 120, то і вираз 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 ділиться націло на 120.

Отже, ми довели, що вираз 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 ділиться націло на 120.