Question

Если в геометрической прогрессии пятый член равен 81, а знаменатель 3/4, то найдите: 1) первый член прогрессии; 2) сумму первых пяти членов прогрессии

Answer 1

b5=b1*q^4

b1=81/(3/4)^4=81*4^4/3^4=256

S=b1(1-q^5)/(1-q)=256(4^5-3^5)/4^4=4^5-3^5=1024-243=781

 

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулы для геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Давайте решим задачу по порядку:

1) Найдем первый член прогрессии.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: an = a1 * r^(n-1),

где an - n-ый член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - порядковый номер члена прогрессии.

У нас дано, что пятый член прогрессии равен 81 и знаменатель равен 3/4. Подставим эти значения в формулу:

81 = a1 * (3/4)^(5-1).

Упростим выражение:

81 = a1 * (3/4)^4.

Теперь найдем a1, изолируя его в уравнении:

a1 = 81 / (3/4)^4.

Рассчитаем значение:

a1 = 81 / (81/256) = 256.

Таким образом, первый член прогрессии равен 256.

2) Найдем сумму первых пяти членов прогрессии.

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

У нас дано, что первый член прогрессии равен 256, знаменатель равен 3/4, и нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии. Подставим эти значения в формулу:

S5 = 256 * (1 - (3/4)^5) / (1 - 3/4).

Упростим выражение:

S5 = 256 * (1 - 243/1024) / (1/4).

S5 = 256 * (1 - 243/1024) * 4.

S5 = 256 * (1 - 243/256).

S5 = 256 * (13/256).

S5 = 13.

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна 13.

Ответы: 1) Первый член прогрессии равен 256. 2) Сумма первых пяти членов прогрессии равна 13.