Question

1) f(x)=2/x 2) f(x)=корень из x-x^2 Исследуйте на монотонность и экстремумы пож-та

Answer 1

F=2/x   x≠0   нечетная
f'=-2/x²   убывает  во всех точках оси х
f'≠0   x=0 вертикальная асимптота.

f=√(x-x²) x-x²≥0   x(1-x)≥0
--------------0--------------1-------------  x∈[0;1]
         -                    +               -
f'=(1-2x)/2√(x-x²)  x≠0  x≠1
1-2x<0  x>1/2  убывает  1-2х>0  x<1/2 возрастает на (0;1) - области определения. Точка экстремума 1/2.

Answer 2

1) f(x) = 2/x + 2: Для исследования на монотонность и экстремумы, мы должны вычислить производную функции f(x).

f'(x) = -2/x^2

Для определения монотонности функции, мы должны выяснить знак производной на определенных интервалах. Заметим, что производная f'(x) всегда отрицательна, так как -2/x^2 всегда будет отрицательным. Это означает, что функция f(x) является убывающей на всей области определения, кроме точки x = 0, где она не определена.

Что касается экстремумов, так как функция f(x) является убывающей на всей области определения, у нее нет локальных экстремумов.

2) f(x) = √(x - x^2): Для исследования на монотонность и экстремумы, мы снова должны вычислить производную функции f(x).

f'(x) = (1 - 2x)/2√(x - x^2)

Для определения монотонности функции, мы должны выяснить знак производной на определенных интервалах. Заметим, что производная f'(x) будет положительной, когда 1 - 2x > 0, т.е. x < 1/2. Она будет отрицательной, когда 1 - 2x < 0, т.е. x > 1/2. Это означает, что функция f(x) является возрастающей на интервале (-∞, 1/2) и убывающей на интервале (1/2, +∞).

Что касается экстремумов, у функции f(x) есть локальный максимум в точке x = 1/2, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.