Question

Упростите cos(60+b)*cos(60-b)-sin(60-b)*sin(60+b)

Answer 1

$cos(60+b)*cos(60-b)-sin(60-b)*sin(60+b)=$$\frac{cos(60+b+60-b)+cos(60+b-60+b)}{2} - \frac{cos(60+b-60+b)-cos(60+b+60-b)}{2} =$$\frac{cos120+cos2b}{2} - \frac{cos2b-cos120}{2} =\frac{cos120+cos2b-cos2b+cos120}{2}=cos120=- \frac{1}{2}$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся формулами тригонометрии.

Во-первых, заметим, что углы 60+b и 60-b являются суммой и разностью двух углов. Такие углы можно упростить с помощью формул тригонометрии:

cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B) cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Применим эти формулы к выражению cos(60+b)*cos(60-b)-sin(60-b)*sin(60+b):

cos(60+b)*cos(60-b) - sin(60-b)*sin(60+b) = = [cos(60)cos(b) - sin(60)sin(b)][cos(60)cos(b) + sin(60)sin(b)] - [sin(60)cos(b) + cos(60)sin(b)][sin(60)cos(b) - cos(60)sin(b)] = = [1/2*cos(b) - √3/2*sin(b)][1/2*cos(b) + √3/2*sin(b)] - [√3/2*cos(b) + 1/2*sin(b)][√3/2*cos(b) - 1/2*sin(b)] = = (1/2*cos(b))^2 - (√3/2*sin(b))^2 - (√3/2*cos(b))^2 + (1/2*sin(b))^2 = = 1/4*cos^2(b) - 3/4*sin^2(b) - 3/4*cos^2(b) + 1/4*sin^2(b) = = -2/4*cos^2(b) - 2/4*sin^2(b) = = -1/2*cos^2(b) - 1/2*sin^2(b) = = -1/2(cos^2(b) + sin^2(b)) = = -1/2.

Таким образом, упрощенное выражение cos(60+b)*cos(60-b)-sin(60-b)*sin(60+b) равно -1/2.