Question

1) для каких углов от 0 до 2π выполняется неравенство sin ϕ >tgϕ ? 2) Решите уравнение 4 cos² x-cosx-5=0 3) Чему равен arcsin(sin 5)?

Answer 1

1) Будем смотреть по четвертям:
в 1-й четверти и синус, и тангенс положительны. но при одинаковых углах синус меньше, чем тангенс ( смотри на ед окружности)
во 2- й четверти синус положителен, а тангенс с минусом ( наше неравенство выполняется) Значит, ответ: (π/2; π)
в 3-й четверти синус с минусом, а тангенс с плюсом ( не подходит)
в 4-й четверти снова синус положителен, а тангенс отрицателен. (наше неравенство выполняется)значит, ответ: (3π/2; 2π)
2) Решаем как квадратное:
D = 1 -4*4*(-5) = 81
а) Cosx = (-1 +9)/8 = 1,   x = 2πk, k ∈Z
б) Cosx = (-1 -9)/8 =-5/4  нет решения 
3) arcSin(Sin5) = 5

Answer 2

1) Неравенство sin ϕ > tgϕ выполняется для углов ϕ, которые лежат в интервале от 0 до π/4 и от 5π/4 до 2π.

Давайте рассмотрим это подробнее.

Угол ϕ лежит в первом квадранте, когда значения sin ϕ и tgϕ положительны. В первом квадранте sin ϕ положителен, когда ϕ находится в интервале от 0 до π/2. В то же время, tgϕ положителен, когда ϕ находится в интервале от 0 до π/4. Таким образом, неравенство sin ϕ > tgϕ выполняется для углов, которые лежат в интервале от 0 до π/4.

Угол ϕ лежит в четвертом квадранте, когда значения sin ϕ и tgϕ отрицательны. В четвертом квадранте sin ϕ отрицателен, когда ϕ находится в интервале от 3π/2 до 2π. В то же время, tgϕ отрицателен, когда ϕ находится в интервале от 5π/4 до 2π. Таким образом, неравенство sin ϕ > tgϕ также выполняется для углов, которые лежат в интервале от 5π/4 до 2π.

2) Для решения уравнения 4cos²x - cosx - 5 = 0, давайте введем замену y = cosx. Тогда уравнение примет вид:

4y² - y - 5 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или формулы для нахождения корней квадратного уравнения. В данном случае, уравнение факторизуется следующим образом:

(2y + 1)(2y - 5) = 0.

Из этого следует, что либо 2y + 1 = 0, либо 2y - 5 = 0.

Решая эти два уравнения, получаем два значения y:

y₁ = -1/2 и y₂ = 5/2.

Теперь, возвращаясь к исходной переменной x, имеем:

cosx = -1/2 и cosx = 5/2.

Однако, второе уравнение cosx = 5/2 не имеет решений, так как косинус угла не может быть больше 1.

Таким образом, единственным решением уравнения 4cos²x - cosx - 5 = 0 является:

cosx = -1/2.

3) Чтобы найти значение arcsin(sin 5), давайте вспомним определение arcsin. Функция arcsin возвращает угол, значение синуса которого равно данному числу.

В данном случае, мы ищем угол, значение синуса которого равно sin 5. Однако, sin 5 не является стандартным значением, поэтому нам нужно использовать тригонометрические свойства, чтобы получить ответ.

Синус угла обычно находится в пределах от -1 до 1, поэтому sin 5 не имеет стандартного значения. Однако, мы можем использовать периодичность синуса для нахождения эквивалентного угла в стандартном диапазоне.

Так как sin(5) превышает диапазон [-1, 1], мы можем использовать периодичность синуса и вычесть или добавить целое число 2π, чтобы получить эквивалентный угол в стандартном диапазоне.

Таким образом, значение arcsin(sin 5) эквивалентно значению arcsin(sin(5 - 2π)).

Вычисляя это значение, мы получаем:

arcsin(sin(5 - 2π)) = arcsin(sin(-1)).

Теперь, чтобы найти значение arcsin(sin(-1)), мы знаем, что sin(-1) = -sin(1), так как синус является нечетной функцией.

Итак, arcsin(sin(-1)) эквивалентно arcsin(-sin(1)).

Мы можем продолжить этот процесс, используя периодичность синуса, чтобы найти эквивалентный угол в стандартном диапазоне.

Таким образом, arcsin(-sin(1)) эквивалентно значению -1.

Итак, arcsin(sin 5) = -1.