Question

Помогите срочно!!!!!! Докажите что 27^7 + 3^18 кратно 7

Answer 1

(3^3)^7+3^18=3^21+3^18=3^18(3^3+1)=3^18*28=3^18*7*4; в числе есть множитель 7, значит оно делится на 7))))

Answer 2

Доказательство того, что \(27^7 + 3^{18}\) кратно 7

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если \(p\) - простое число, то для любого целого числа \(a\) выполняется следующее:

\[a^p \equiv a \pmod{p}\]

где \(\equiv\) обозначает "конгруэнтно по модулю", а \(\pmod{p}\) обозначает "по модулю \(p\)".

Теперь мы можем рассмотреть выражение \(27^7 + 3^{18}\).

Для начала, давайте перепишем \(27\) как \(3^3\), таким образом, \(27^7 = (3^3)^7 = 3^{3 \times 7} = 3^{21}\).

Теперь мы можем заметить, что \(3^{21}\) делится на \(7\) по модулю 7, так как \(3^6 \equiv 1 \pmod{7}\) (это следует из малой теоремы Ферма).

Теперь давайте посмотрим на \(3^{18}\). Мы можем заметить, что \(3^{18} = (3^6)^3\), и поэтому также делится на \(7\) по модулю 7.

Итак, \(27^7 + 3^{18}\) делится на \(7\) по модулю 7, так как оба слагаемых делятся на \(7\), что доказывает, что \(27^7 + 3^{18}\) кратно 7.