Question

1) cos(π+(x/2))-1=0 2) cos3x cos 6x + sin6x sin3x = -1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

1) Рассмотрим уравнение cos(π+(x/2))-1=0. Перенесем -1 на другую сторону: cos(π+(x/2)) = 1. Так как косинус максимальное значение равно 1, то это означает, что аргумент косинуса должен быть равен 0 или кратен 2π: π+(x/2) = 2πk, где k - целое число. Решаем уравнение относительно x: x/2 = 2πk - π, x = 4πk - 2π.

2) Рассмотрим уравнение cos3x+cos6x+sin6x+sin3x = -1. Для удобства заменим sin3x на -cos3x, используя тождество sin^2x + cos^2x = 1: cos3x+cos6x-sin6x-sin3x = -1. Группируем слагаемые: (cos3x-sin3x) + (cos6x-sin6x) = -1. Применим формулу синуса разности и косинуса суммы: √2 * sin(3x + π/4) + √2 * cos(6x - π/4) = -1. Делим уравнение на √2: sin(3x + π/4) + cos(6x - π/4) = -1/√2.

Так как сумма синуса и косинуса не может быть меньше -2 или больше 2, то это означает, что аргументы синуса и косинуса должны быть кратны π: 3x + π/4 = πk, где k - целое число, 6x - π/4 = πm, где m - целое число.

Решаем первое уравнение относительно x: 3x = πk - π/4, x = (πk - π/4)/3.

Подставляем это значение во второе уравнение: 6(πk - π/4)/3 - π/4 = πm, 2πk - π/2 - π/4 = πm, 2πk = π/2 + π/4 + πm, 2πk = 3π/4 + πm.

Уравнение справедливо для любых целых k и m.

Таким образом, решение уравнения cos3x+cos6x+sin6x+sin3x = -1 задается выражением: x = (πk - π/4)/3, где k - целое число.