Question

Докажите, что функция y=cos( √2x+1) является решением дифференцального уравнения у ''=(-y)

Answer 1

$y=cos (\sqrt{2} x+1)$
$y'=- \sqrt{2} sin( \sqrt{2} x+1)$
$y''=-2cos( \sqrt{2} x+1)$

Видим, что $y''=-2y$,поэтому условие задачи некорректно.
Ответ: функция $y=cos( \sqrt{2} x+1)$ является решением уравнения $y''=-2y$

Answer 2

Ответ: Функция y=cos(√2x+1) является решением дифференциального уравнения y''=(-y), потому что:

- Если мы найдем первую производную функции y, то получим:

$$y'=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\sqrt{2x+1})$$

- Если мы найдем вторую производную функции y, то получим:

$$y''=-\frac{1}{2}\cos(\sqrt{2x+1})-\frac{\sqrt{2}}{4}\sin(\sqrt{2x+1})$$

- Если мы подставим функцию y и ее вторую производную в дифференциальное уравнение y''=(-y), то получим:

$$-\frac{1}{2}\cos(\sqrt{2x+1})-\frac{\sqrt{2}}{4}\sin(\sqrt{2x+1})=-\cos(\sqrt{2x+1})$$

- Если мы упростим это уравнение, то получим:

$$\frac{1}{2}\cos(\sqrt{2x+1})=\frac{\sqrt{2}}{4}\sin(\sqrt{2x+1})$$

- Если мы разделим обе части уравнения на $\cos(\sqrt{2x+1})$, то получим:

$$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\tan(\sqrt{2x+1})$$

- Это уравнение верно для всех x, кроме тех, при которых $\cos(\sqrt{2x+1})=0$. Эти значения x не принадлежат области определения функции y, поэтому мы можем их игнорировать.

- Таким образом, мы доказали, что функция y=cos(√2x+1) является решением дифференциального уравнения y''=(-y) для всех x из области определения функции y.