Question

Решите интеграл От нуля до единицы (x^2+3)^2dx

Answer 1

Решение задания на фото

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной.

Давайте обозначим x^2 + 3 = t. Затем мы можем выразить dx через dt.

Когда x = 0, t = 3, и когда x = 1, t = 4.

Теперь давайте найдем производную от t по x, чтобы выразить dx через dt:

dt/dx = d/dx (x^2 + 3) = 2x

Теперь мы можем выразить dx через dt, разделив оба выражения на 2x:

dx = dt / (2x)

Теперь мы можем переписать исходный интеграл с использованием новых переменных:

∫(x^2 + 3)^2 dx = ∫t^2 (dt / (2x))

Теперь мы можем вынести t^2 за знак интеграла, так как он не зависит от x:

= (1/2) ∫t^2 dt

Теперь мы можем проинтегрировать t^2:

= (1/2) * (t^3 / 3) + C

Где C - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем вернуться к исходным переменным:

= (1/2) * ((x^2 + 3)^3 / 3) + C

Таким образом, решением исходного интеграла будет:

(1/6) * (x^2 + 3)^3 + C