Question

Решить уравнение: sin 2x+2cos 2x =1

Answer 1

sin 2x+2cos 2x =1

2sinxcosx+2(cosx)^2-2(sinx)^2-(cosx)^2-(sinx)^2=0

2sinxcosx+(cosx)^2-3(sinx)^2=0 |:(cosx)^2 не=0

2tgx+1-3(tgx)^2=0|*(-1)                x не=П/2+Пn,n принадлежит Z

3(tgx)^2-2tgx-1=0 |tgx=t

3t^2-2t-1=0

D=(-2)^2-4*3*(-1)=16

t1=(2+4)/6=1                                        t2=(2-4)/6=-1/3

tgx=1                                                   tgx=-1/3

x=П/4+Пn,n принадлежит Z                   x=-arctg 1/3 + Пk,k принадл.Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования его в более простую форму.

Начнем с использования тождества суммы для синуса:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим это тождество к уравнению:

sin(2x)cos(2x) + cos(2x)sin(2x) = 1

Теперь объединим одинаковые слагаемые:

2sin(2x)cos(2x) = 1

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством удвоения:

sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

Применим это тождество к нашему уравнению:

2 * 2sin(x)cos(x)cos(x) = 1

4sin(x)cos^2(x) = 1

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cos^2(A) = 1 - sin^2(A)

Применим это тождество к уравнению:

4sin(x)(1 - sin^2(x)) = 1

Раскроем скобки:

4sin(x) - 4sin^3(x) = 1

Полученное уравнение является кубическим уравнением относительно sin(x). Для его решения можно воспользоваться различными методами, например, методом Ньютона или методом деления пополам.

После нахождения решений sin(x), мы можем найти значения x, используя обратные тригонометрические функции, такие как arcsin или sin^(-1).

Итак, решение данного уравнения будет состоять в нахождении значений x, удовлетворяющих уравнению sin(2x) + 2cos(2x) = 1.