Question

Подробное решение sin^2(2x-1)=1/2

Answer 1

Sin^2(2x-1)=1/2
а) Sin(2x -1) = 1/√2, ⇒ 2х -1 = (-1)ⁿ π/4 + nπ, n ∈Z
2x = 1 +(-1)ⁿ π/4 + nπ, n ∈Z
x = 1/2 +(-1)ⁿ π/8+ nπ/2, n ∈Z
 б)Sin(2x -1) = - 1/√2, ⇒ 2х -1 = (-1)ⁿ⁺¹ π/4 + nπ, n ∈Z
2x = 1 +(-1)ⁿ⁺¹ π/4 + nπ, n ∈Z
x = 1/2 +(-1)ⁿ⁺¹ π/8+ nπ/2, n ∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin^2(2x-1) = 1/2 сначала приведем его к виду, удобному для дальнейшего решения. Заметим, что sin^2(2x-1) = (sin(2x-1))^2.

Применение тригонометрической тождества

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы переписать уравнение следующим образом:

(sin(2x-1))^2 = 1/2

Теперь мы можем заметить, что (sin(2x-1))^2 = (1/2) * 1. Используя это, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(sin(2x-1))^2 = (sin(pi/4))^2

Применение обратной функции

Так как sin(x) является периодической функцией с периодом 2pi, то sin(x) = sin(y), если y = x + 2kpi или y = pi - x + 2kpi, где k - целое число. В нашем случае y = pi/4.

Таким образом, у нас есть два возможных варианта:

1. (2x-1) = pi/4 + 2kpi 2. (2x-1) = pi - (pi/4) + 2kpi

Решим каждое уравнение отдельно.

Решение первого уравнения

(2x-1) = pi/4 + 2kpi

Для начала, найдем общее решение этого уравнения. Разрешим x:

2x = pi/4 + 2kpi + 1

x = (pi/4 + 2kpi + 1)/2

x = pi/8 + kpi + 1/2

Теперь рассмотрим ограничения на x. Функция sin(x) принимает значения от -1 до 1. Это означает, что:

-1 <= sin(2x-1) <= 1

Таким образом, мы можем записать неравенство:

-1 <= sin(pi/8 + kpi + 1/2) <= 1

Это неравенство может быть разбито на два неравенства:

-1 <= sin(pi/8 + kpi + 1/2) и sin(pi/8 + kpi + 1/2) <= 1

Решим каждое из этих неравенств.

## Решение первого неравенства

-1 <= sin(pi/8 + kpi + 1/2)

Так как sin(x) принимает значения от -1 до 1, то это неравенство выполняется для любого значения kpi.

## Решение второго неравенства

sin(pi/8 + kpi + 1/2) <= 1

Рассмотрим два случая:

1. k - четное число Если k - четное число, то pi/8 + kpi + 1/2 будет находиться в диапазоне от pi/8 + 2npi + 1/2 до pi/8 + (2n+1)pi + 1/2, где n - целое число. В этом случае неравенство выполняется.

2. k - нечетное число Если k - нечетное число, то pi/8 + kpi + 1/2 будет находиться в диапазоне от pi/8 + (2n+1)pi + 1/2 до pi/8 + (2n+2)pi + 1/2, где n - целое число. В этом случае неравенство также выполняется.

Таким образом, первое уравнение имеет решение для любого значения k.

Решение второго уравнения

(2x-1) = pi - (pi/4) + 2kpi

Для начала, найдем общее решение этого уравнения. Разрешим x:

2x = pi - (pi/4) + 2kpi + 1

x = (pi - (pi/4) + 2kpi + 1)/2

x = (3pi/4 + 2kpi + 1)/2

x = 3pi/8 + kpi + 1/2

Теперь рассмотрим ограничения на x. Аналогично первому случаю, sin(x) принимает значения от -1 до 1. Мы можем записать неравенство:

-1 <= sin(3pi/8 + kpi + 1/2) <= 1

Разбиваем его на два неравенства:

-1 <= sin(3pi/8 + kpi + 1/2) и sin(3pi/8 + kpi + 1/2) <= 1

Решим каждое из этих неравенств.

## Решение первого неравенства

-1 <= sin(3pi/8 + kpi + 1/2)

Аналогично первому случаю, это неравенство выполняется для любого значения kpi.

## Решение второго неравенства

sin(3pi/8 + kpi + 1/2) <= 1

Рассмотрим два случая:

1. k - четное число Если k - четное число, то 3pi/8 + kpi + 1/2 будет находиться в диапазоне от 3pi/8 + 2npi + 1/2 до 3pi/8 + (2n+1)pi + 1/2, где n - целое число. В этом случае неравенство выполняется.

2. k - нечетное число Если k - нечетное число, то 3pi/8 + kpi + 1/2 будет находиться в диапазоне от 3pi/8 + (2n+1)pi + 1/2 до 3pi/8 + (2n+2)pi + 1/2, где n - целое число. В этом случае неравенство также выполняется.

Таким образом, второе уравнение имеет решение для любого значения k.

Общее решение

Объединяя оба случая, мы получаем общее решение уравнения sin^2(2x-1) = 1/2:

x = pi/8 + kpi + 1/2 или x = 3pi/8 + kpi + 1/2, где k - любое целое число.

Это означает, что x может принимать бесконечное количество значений, соответствующих каждому целому значению k.