Question

Вторая производная от yx²=e^y

Answer 1

Посмотрите такое решение (перепроверьте по возможности):
y':
(yx²)'=(e^y)'
y'x²+2xy=y'*e^y.
y'':
(y'x²+2xy)'=(y'*e^y)'
2xy'+y''x²+2y+2xy'=y''*e^y +(y')²*e^y
y''=((y')²*e^y-4xy'-2y)/(x²-e^y).

Answer 2

Чтобы найти вторую производную от функции y(x) = x²e^y, мы должны сначала найти первую производную и затем взять производную от полученной первой производной.

Нахождение первой производной

Для начала, нам нужно найти первую производную от функции y(x). Для этого мы будем использовать правило производной произведения функций.

Дано: y(x) = x²e^y

Для нахождения первой производной, мы используем правило производной произведения функций (Product Rule). Правило гласит, что производная произведения двух функций f(x)g(x) равна произведению первой функции f'(x) и второй функции g(x), плюс произведение первой функции f(x) и производной второй функции g'(x).

Применяя это правило к нашей функции y(x) = x²e^y, мы получаем:

y'(x) = (2x)(e^y) + (x²)(e^y)(y')

где y' - производная y по x.

Нахождение второй производной

Теперь, когда у нас есть первая производная y'(x), мы можем найти вторую производную. Для этого мы снова применим правило производной произведения функций.

y'(x) = (2x)(e^y) + (x²)(e^y)(y')

Мы знаем, что y' = dy/dx (производная y по x). Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

y'(x) = 2xe^y + x²e^y(dy/dx)

Теперь мы можем взять производную от полученного уравнения по x, чтобы найти вторую производную:

y''(x) = 2e^y + 2xe^y(dy/dx) + x²e^y(d²y/dx²)

Здесь d²y/dx² - это обозначение для второй производной y по x.

Заключение

Таким образом, вторая производная от функции y(x) = x²e^y равна:

y''(x) = 2e^y + 2xe^y(dy/dx) + x²e^y(d²y/dx²)

где dy/dx - первая производная y по x, а d²y/dx² - вторая производная y по x.