Question

Даю 70 баллов! Решите задачу: сумма трёх чисел, составляющих арифметческую прогрессию равна 30. Если из первого числа вычесть 5, из второго 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Answer 1

1. Имеем арифметическую прогрессию: 
а₁, а₂, а₃, где а₂ =а₁ + д; или а₁ = а₂ - д;(1)  а₃ = а₂ + д;(2)
по условию:  а₁+ а₂ + а₃ = 30 (3), но сумма трех членов равна также: (а₁ + а₃)·3:2 = 30, ⇒ а₁ + а₃ = 20 (4). Сравнивая (3) и (4)  (или вычитая из (3) (4)), получим: а₂ =10;
2. По условию: (а₁ - 5); (а₂ - 4); а₃  - геометрическая прогрессия. 
Исходя из ее свойств (а₂ - 4)/(а₁ -  5) = а₃/(а₂ - 4) или, т.к. а₂ =10 и ⇒ а₂ - 4 = 6;   6/(а₁ - 5) = а₃/6 (5).
Преобразуем (5) и выразим а₁ и а₃ через а₂: пригодятся выражения  (1) и (2).
а₃·(а₁ - 5) = 36 ; (а₂+д)·(а₂ -д -5) =36, Вставив а₂ = 10, получим: (10+д)·(10 - д - 5) =36; (10+д)·(5 - д) = 36;
50 + 5д -10д - д² = 36; д² + 5д - 14 = 0;
д₁ = (-5 + √(25+56):2 = (-5+9):2 = 2
(т.к. по условию прогрессия возрастающая, отрицательный д₂ на берем)
тогда а₁ = а₂ - д = 10 - 2 = 8; а₃ = а₂ +д =10 + 2 = 12;
Прогрессия наша: 8, 10, 12
Проверка: (а₂-4)/(а₁-5) = 12/(а₂-4) = 6:3=12:6, и новая прогрессия (3,6,12) геометрическая.

Answer 2

Пусть первое число а, второе число а + d, третье число а + 2d, где d - шаг арифметической прогрессии.

Так как сумма трех чисел составляет 30, то:

а + (а + d) + (а + 2d) = 30 3а + 3d = 30 а + d = 10 (уравнение 1)

Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4 и третье оставить без изменений, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. То есть:

(а - 5), (а + d - 4), (а + 2d)

Так как это геометрическая прогрессия, то:

(а + d - 4) / (а - 5) = (а + 2d) / (а + d - 4) (а + d - 4)^2 = (а - 5)(а + 2d) а^2 + 2ad - 4a + ad + d^2 - 4d = а^2 - 5а + 2ad - 10d 6ad - 4a - 4d = -5а - 10d 6ad - 4a + 5а = -10d + 4d 6ad + а = -6d а(6d + 1) = -6d

Если d ≠ 0, то:

а = -6d / (6d + 1) (уравнение 2)

Подставим уравнение 2 в уравнение 1:

-6d / (6d + 1) + d = 10 -6d + d(6d + 1) = 10(6d + 1) -6d + 6d^2 + d = 60d + 10 6d^2 - 53d - 10 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем значения d:

d₁ = (-(-53) + √((-53)^2 - 4 * 6 * (-10))) / (2 * 6) d₁ = (53 + √(2809 + 240)) / 12 d₁ = (53 + √3049) / 12

d₂ = (-(-53) - √((-53)^2 - 4 * 6 * (-10))) / (2 * 6) d₂ = (53 - √(2809 + 240)) / 12 d₂ = (53 - √3049) / 12

Подставим найденные значения d в уравнение 2, чтобы найти значения а:

а₁ = -6 * ((53 + √3049) / 12) / (6 * ((53 + √3049) / 12) + 1) а₁ = -6 * (53 + √3049) / (6 * (53 + √3049) + 12) а₁ = -(53 + √3049) / (53 + √3049 + 2)

а₂ = -6 * ((53 - √3049) / 12) / (6 * ((53 - √3049) / 12) + 1) а₂ = -6 * (53 - √3049) / (6 * (53 - √3049) + 12) а₂ = -(53 - √3049) / (53 - √3049 + 2)

Таким образом, найдены значения а и d, которые образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют условию задачи.