Question

Решите неравенство log_4 (x^2+x+10)<_2

Answer 1

Решите неравенство log_4 (x^2+x+10)<_2

одз:  (x^2+x+10)>0 при всех х∈(-∞, ∞), т.к. дискриминант D<0.

 log₄ (x^2+x+10)≤2   ⇔   log₄ (x^2+x+10)≤log₄ 4²   ⇔ (x^2+x+10)≤ 4², 
основание логарифма 4>1, y=log₄x - функция возрастающая.

x^2+x+10-16 ≤0   ⇔   x^2+x-6≤0    , x₁=-3,   x₂=2.

     +                                        -                         +
---------------(-3)--------------------------------(2)------------------

Т.О. x∈[-3;2]

Answer 2

Для начала, давайте перепишем неравенство в эквивалентной форме без использования логарифма:

4^(log_4 (x^2+x+10)) < 4^2

Так как 4^2 = 16, мы получим:

x^2+x+10 < 16

Теперь приведем это к квадратному уравнению:

x^2+x-6 < 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем корни уравнения x^2+x-6 = 0:

(x+3)(x-2) = 0

x = -3 или x = 2

Теперь мы можем построить таблицу интервалов:

(-∞, -3) | (-3, 2) | (2, +∞) -------------+--------------+------------- (-) | (+) | (+)

Где (-) обозначает отрицательные значения, а (+) - положительные значения.

Из таблицы интервалов видно, что неравенство выполняется для интервала (-∞, -3) и (2, +∞).

Таким образом, решением неравенства log_4 (x^2+x+10) < 2 является интервал (-∞, -3) объединенный с интервалом (2, +∞).