Question

Представьте многочлен x^4+x^2+1 в виде произведения

Answer 1

Разложим, используя метод выделения полного квадрата:
x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 - x² = (x² + 1)² - x² = (x² + 1 - x)(x² + 1 + x).

Answer 2

Для представления многочлена x^4 + x^2 + 1 в виде произведения, мы можем воспользоваться методом факторизации. Однако, данный многочлен не раскладывается на линейные множители над полем вещественных чисел. Вместо этого, мы можем попытаться разложить его на неприводимые множители над полем комплексных чисел.

Мы начнем с того, что предположим, что данное уравнение имеет некоторые комплексные корни. Пусть z будет одним из этих корней. Затем мы можем записать многочлен в виде (x - z)(x - z')(x - z'')(x - z'''), где z', z'', и z''' - это остальные корни многочлена.

Однако, нам нужно найти значения z, z', z'', и z'''. Чтобы это сделать, мы можем воспользоваться формулой корней многочлена четвертой степени:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Для нашего многочлена, a = 1, b = 0 и c = 1. Подставив эти значения в формулу, мы получим:

x = ± √(-1) / 2

Так как у нас появляются комплексные числа, мы можем записать их в виде z = ± i / 2, где i - мнимая единица.

Теперь мы можем записать многочлен в виде произведения:

x^4 + x^2 + 1 = (x - (i/2))(x + (i/2))(x - (-i/2))(x + (-i/2))

После упрощения получим:

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + (i^2)/4)(x^2 + (-i^2)/4)

Поскольку i^2 = -1, мы можем записать это как:

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - 1/4)(x^2 + 1/4)

Теперь мы можем записать многочлен в виде произведения:

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - 1/4)(x^2 + 1/4)

Таким образом, многочлен x^4 + x^2 + 1 может быть представлен в виде произведения (x^2 - 1/4)(x^2 + 1/4).