Question

Первый член возрастающей геометрической прогрессии b1=4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. найти q и b10

Answer 1

$\left \{ {{b_1=4} \atop {b_3+b_5=80}} \right.$

$\left \{ {{b_1=4} \atop {b_1q^2+b_1q^4=80}} \right.$

$\left \{ {{b_1=4} \atop {b_1q^2(1+q^2)=80}} \right.$

$\left \{ {{b_1=4} \atop {4q^2(1+q^2)=80}} \right.$

$\left \{ {{b_1=4} \atop {q^2(1+q^2)=20}} \right.$

$\left \{ {{b_1=4} \atop {q^4+q^2-20=0}} \right.$

$q^4+q^2-20=0$

Замена:  $q^2=t,$ $t \geq 0$

$t^2+t-20=0$

$D=1+80=81$

$t_1= \frac{-1+9}{2} =4$

$t_2= \frac{-1-9}{2} =-5$   - не удовлетв.

$q^2=4$

$q=2$     или     $q=-2$ - не подходит

$\left \{ {{b_1=4} \atop {q=2}} \right.$

$b_{10}=b_1*q^9$

$b_{10}=4*2^9=4*512=2048$

Answer 2

Дано: - Первый член возрастающей геометрической прогрессии b1 = 4 - Сумма третьего и пятого членов равна 80

Мы можем использовать формулы для нахождения членов геометрической прогрессии и суммы членов геометрической прогрессии, чтобы решить эту задачу.

Нахождение членов геометрической прогрессии

Возьмем общий вид n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1 * q^(n-1), где bn - n-й член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Мы знаем, что b1 = 4. Мы также знаем, что сумма третьего и пятого членов равна 80. Давайте найдем эти члены:

Третий член: b3 = b1 * q^(3-1) = 4 * q^2

Пятый член: b5 = b1 * q^(5-1) = 4 * q^4

Нахождение значения q

Сумма третьего и пятого членов равна 80, поэтому мы можем записать уравнение:

b3 + b5 = 80 4 * q^2 + 4 * q^4 = 80

Разделим обе части уравнения на 4: q^2 + q^4 = 20

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют только степени q. Мы можем решить его, приведя его к квадратному уравнению. Подставим x = q^2:

x + x^2 = 20

x^2 + x - 20 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать факторизацию или квадратное уравнение.

Факторизация: (x - 4)(x + 5) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 4 или x = -5

Так как q^2 = x, то q может быть равно корню из 4 или корню из -5. Так как q - знаменатель прогрессии и должно быть положительным, то мы берем положительный корень из 4:

q = √4 = 2

Нахождение b10

Теперь, когда мы знаем значение q, мы можем найти b10, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

b10 = b1 * q^(10-1) = 4 * 2^9 = 4 * 512 = 2048

Таким образом, значение q равно 2, а значение b10 равно 2048.