Question

10 Балов!"!!!! Найти корни уравнения 2sin ^ 2 x + 2sinxcosx-2cos ^ 2 x = 1, которые принадлежат промежутку (- π / 2; π / 2)

Answer 1

$2sin^2x+2sinx\cdot cosx-2cos^2x=1\\\\2sin^2x+2sinx\cdot cosx-2cos^2x=sin^2x+cos^2x\\\\sin^2x-2sinx\cdot cosx-3cos^2x=0\, |:cos^2x\ne 0\\\\tg^2x+2tgx-3=0\\\\tgx=-3\; \; \; ili\; \; \; tgx=1\; \; (teorema\; Vieta)\\\\x=-arctg3+\pi n,\; n\in Z\; \; \; \; \; ili\; \; \; \; \; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in Z\\\\x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\; \; \Rightarrow \; \; \; \; x=-arctg3\; ,\; \frac{\pi }{4}\; .$

Answer 2

Чтобы найти корни уравнения вида 2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 1 на заданном интервале (-π/2, π/2), давайте разберемся сначала с левой частью уравнения.

Решение уравнения 2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 1:

Начнем с упрощения левой части уравнения:

2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 1

Перепишем sin^2(x) и cos^2(x) с использованием тригонометрической тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2(1 - cos^2(x)) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 1

Раскроем скобки и упростим уравнение:

2 - 2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 1

4cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение:

4cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Решение уравнения 4cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0:

Давайте решим это уравнение.

Обратите внимание, что мы можем записать cos^2(x) как 1 - sin^2(x) с использованием тригонометрической тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

4(1 - sin^2(x)) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

4 - 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

3 - 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение:

3 - 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Применение формулы двойного угла:

Для решения этого уравнения мы можем использовать формулу двойного угла. Формула двойного угла для sin гласит:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заметим, что -4sin^2(x) = -2 * 2sin(x)cos(x). Заменим это в уравнении:

3 - 2 * 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

3 - 4sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

3 - 6sin(x)cos(x) = 0

Применение формулы половинного угла:

Теперь мы можем использовать формулу половинного угла для cos. Формула половинного угла для cos гласит:

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Заметим, что 6sin(x)cos(x) = 3 * 2sin(x)cos(x). Заменим это в уравнении:

3 - 3 * 2sin(x)cos(x) = 0

3 - 3 * (1 + cos(2x)) / 2 = 0

6 - 3 * (1 + cos(2x)) = 0

Решение уравнения 6 - 3 * (1 + cos(2x)) = 0:

Теперь мы можем решить это уравнение:

3 * (1 + cos(2x)) = 6

1 + cos(2x) = 2

cos(2x) = 1

Решение уравнения cos(2x) = 1:

У нас есть уравнение cos(2x) = 1.

Заметим, что cos(2x) = 1 означает, что угол 2x равен нулю или угол 2x равен любому целому кратному π.

Таким образом, мы получаем два случая:

1) 2x = 0

2) 2x = nπ, где n - целое число

Решение первого случая:

1) 2x = 0

x = 0

Решение второго случая:

2) 2x = nπ, где n - целое число

x = nπ / 2

Проверка корней уравнения на принадлежность заданному интервалу:

Теперь, чтобы проверить, какие из этих корней принадлежат интервалу (-π/2, π/2), мы должны проверить каждое значение x, подставив его в исходное уравнение и убедиться, что уравнение выполняется.

Подставим каждый корень в уравнение:

1) x = 0:

2sin^2(0) + 2sin(0)cos(0) - 2cos^2(0) = 1

0 + 0 - 2 = 1

-2 = 1 (Неверно)

2) x = nπ / 2, где n - целое число:

Подставим x = π / 2:

2sin^2(π / 2) + 2sin(π / 2)cos(π / 2) - 2cos^2(π / 2) = 1

2 - 2 + 0 = 1

0 = 1 (Неверно)

Таким образом, на заданном интервале (-π/2, π/2) нет решений уравнения 2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 1.