Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-√x y=√x 3x+5y=22

Answer 1

S=S1+S2
1 фигура на промежутке от 1 до 4 ограничена сверху графиком у=√х,а снизу у=2-√х
2 фигура на промежутке от 4 до 9 ограничена сверху графиком у=4,4-0,6х,а снизу у=2-√х
$S1= \int\limits^4_1( { \sqrt{x} -2+ \sqrt{x} } )\, dx = \int\limits^4_1 {(2 \sqrt{x} -2)} \, dx =$$4/3* \sqrt{x^3} -2x|4-1=32/3-8-4/3+2=10/3$
$S2= \int\limits^9_4 {(4,4-0,6x-2+ \sqrt{x} )} \, dx = \int\limits^9_4 {(2,4-0,6x+ \sqrt[n]{x} )} \, dx =$$2,4x-0,3x^2+2/3* \sqrt{x^3} |9-4=21,6-24,3+18-9,6+4,8-16/3$$31/6$
S=10/3+31/6=((20+31)/6=51/6=17/2=8,5

Answer 2

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-√x, y=√x+3x, y=22, нужно сначала найти точки пересечения этих линий. Это можно сделать, решая системы уравнений:

y=2-√x и y=√x+3x (2-√x)^2 = x+3x 4-4√x+x = 4x 3x-4√x+4 = 0 (3x+4)(x-1) = 0 x = -4/3 или x = 1

y=2-√x и y=22 2-√x = 22 -√x = 20 x = -400

y=√x+3x и y=22 √x+3x = 22 x+9x^2 = 484 9x^2+x-484 = 0 (x-11)(9x+44) = 0 x = 11 или x = -44/9

Из этих решений видно, что фигура имеет три вершины: A(-4/3; 10/3), B(1; 4) и C(11; 55). Тогда площадь фигуры равна сумме площадей трех криволинейных трапеций, образованных графиками функций и отрезками [A, B], [B, C] и [C, A]:

S = ∫AB (2-√x)dx + ∫BC (√x+3x)dx + ∫CA (22)dx

Для вычисления этих интегралов нужно найти первообразные функций под знаком интеграла и подставить пределы интегрирования:

∫ (2-√x)dx = 2x - 2/3 x^(3/2) + C ∫ (√x+3x)dx = 2/3 x^(3/2) + 3/2 x^2 + C ∫ (22)dx = 22x + C

Тогда:

S = (2B - 2/3 B^(3/2)) - (2A - 2/3 A^(3/2)) + (2/3 C^(3/2) + 3/2 C^2) - (2/3 B^(3/2) + 3/2 B^2) + (22C - 22A)

Подставляя значения A, B и C, получаем:

S = (2 - 2/3 2) - (2/3 (-4/3)^(3/2) - 8/9) + (2/3 11^(3/2) + 181/2) - (2/3 2 + 3/2) + (242 - 88/3)

S = 16/9 + 16/27 + 2/3 11^(3/2) + 181/2 - 4/3 - 3/2 + 154 - 88/3

S = 2/3 11^(3/2) + 217/2 + 16/27 - 92/9

S ≈ 254.6 (округлено до десятых)

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-√x, y=√x+3x, y=22, примерно равна 254.6 квадратных единиц.