Question

(х^2+10x+24)^2 + n(x^2+2x-24)^2=0

Answer 1

Проще всего решить это уравнение, если n-произвольное положительное число.

В этом случае мы имеем сумму двух положительных чисел(квадрата и положительного числа, умноженного на квадрат), а их сумма равна нулю, когда каждое слагаемое равно нулю, поэтому

 

1. х^2 +10*x +24 = x^2 +2*x -24

             8*x        = -48

                x = -6

2. Обязательно! Проверим, обращает ли в 0 этот корень хотя бы одно из слагаемых

6^2 - 10*6 +24 = 0

 

Следовательно, указанное уравнение имеет единственный корень х=-6.

 

При n=0, естественно 2 корня х=-6 и х=-4,

 

а при n<0 не совсем школьная задачка на исследование уравнения 4 степени.

Answer 2

(х^2+10x+24)^2 + (x^2+2x-24)^2=0

По теореме виета:

(х^2+10x+24)=(x+4)(x+6)

(x^2+2x-24)=(x-4)(x+6)

(x+4)(x+6)^2+(x-4)(x+6)^2=0

(x+6)(x+6)*[(x+4)^2+(x-4)^2]=0

(x+6)(x+6)*[2x^2+32]=0

(x+6)(x+6)*[x^2+16]=0

x_1=-6, x_2=-6,

4i,-4i  --- комплексные корни. если в школе то решений нет.

 

Ответ: -6

Answer 3

Для решения данного уравнения, мы должны разложить квадратные выражения на множители и использовать свойства алгебры.

Раскроем квадратные скобки:

(х^2 + 10x + 24)^2 + n(x^2 + 2x - 24)^2 = 0

(х^2 + 10x + 24)(х^2 + 10x + 24) + n(x^2 + 2x - 24)(x^2 + 2x - 24) = 0

Теперь умножим каждое выражение в скобках:

(х^2 + 10x + 24)(х^2 + 10x + 24) = (х^4 + 20х^3 + 144х^2 + 100х^2 + 240х + 576)

(n(x^2 + 2x - 24)(x^2 + 2x - 24) = n(x^4 + 4x^3 - 48x^2 + 4x^3 + 16x^2 - 192x - 48x^2 - 192x + 2304)

Теперь объединим все слагаемые:

х^4 + 20х^3 + 144х^2 + 100х^2 + 240х + 576 + n(x^4 + 4x^3 - 48x^2 + 4x^3 + 16x^2 - 192x - 48x^2 - 192x + 2304) = 0

Распространяем коэффициент n на каждое слагаемое:

х^4 + 20х^3 + 144х^2 + 100х^2 + 240х + 576 + nx^4 + 4nx^3 - 48nx^2 + 4nx^3 + 16nx^2 - 192nx - 48nx^2 - 192nx + 2304n = 0

Теперь соберем все слагаемые с одинаковыми степенями:

(1 + n)х^4 + (20 + 4n)х^3 + (144 - 48n + 100)х^2 + (240 - 192n)х + (576 + 2304n) = 0

Уравнение сводится к следующему виду:

(1 + n)х^4 + (20 + 4n)х^3 + (244 - 48n)х^2 + (240 - 192n)х + (576 + 2304n) = 0

Теперь уравнение можно решить, используя различные методы решения квадратных уравнений.