Question

Решите уравнение : √2(sinx+cosx)=4sinxcosx

Answer 1

Решите уравнение : √2(sinx+cosx)=4sinxcosx
----------------------------------
 √2(sinx+cosx)=4sinxcosx  ; 
√2*√2sin(x+π/4)=2sin2x ;
sin2x - sin(x+π/4) =0 ;  * * * sinα - sinβ =2sin( (α-β)/2 ) * cos((α+β)/2) * * *
2sin(x/2 -π/8)*cos(3x/2+π/8) =0⇔(совокупность) [ sin(x/2 -π/8) =0 ;cos(3x/2+π/8) =0 .
a) 
sin(x/2 -π/8) =0 ;
x /2-π/8) =π*n ,n∈Z ;
x = π/4+2π*n , n∈Z.
--- или ---
b) 
cos(3x/2+π/8) =0 ;
3x/2+π/8 = π/2 + π*k , k  n∈Z ;
x =π/4+2π*k/ 3 , k  ∈Z.

ответ  :  π/4+2π*k/3 , k  ∈Z .   
* * * * * * *  * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * cерия   решений  π/4 +2πn  получается из  π/4+2πk/3 ,если  k =3n . * * *
* * *   π/4 +2πn = π/4+2πk/3  ⇒k= 3n * * *
* * * * * *
Удачи ! 
asinα +bcosα =√(a²+b²)sin(α +β) ,где β =arctq(b/a)

Answer 2

Представим sinx+cosx, как сумму sinx+cosy
√2*(2*sin(П/4)*сos(x-П/4)=4*sinx*cosx
(√2*2*√2/2)*cos(x-П/4)=4*sinx*cosx
2*cos(x-П/4)=4*sinx*cosx
cos(x-П/4)=2*sinx*cosx
cos(x-П/4)=sin2*x
cos(x-П/4)=сos(П/2-2*x)
cos(П/2-2*x)-cos(x-П/4)=0
2*sin((П/2-2*x+x-П/4)/2)*sin(x-П/4-П/2+2*x)/2=0
sin((П/4-x)/2)*sin((3*x-3*П/4)/2)=0
sin(П/8-x/2)*sin(3*x/2-3*П/4)=0
sin(П/8-x/2)=0   П/8-x/2=П*n   x/2=П/8-П*n  x=П/4-2*Пn=П/4+2*П*n, nЄZ
sin(3*x/2-3*П/8)=0   3*x/2-3*П/8=П*k   3*x/2=3*П/8+П*k    3*x=3*П/4+2*П*k
x=П/4+2*П*k/3, kЄZ

Answer 3

Давайте решим данное уравнение по шагам.

Шаг 1: Приведение уравнения к более удобному виду.

У нас есть уравнение: √2(sin(x) + cos(x)) = 4sin(x)cos(x).

Для удобства дальнейшего решения, давайте возведем уравнение в квадрат:

[√2(sin(x) + cos(x))]^2 = (4sin(x)cos(x))^2.

Это приводит нас к:

2(sin(x) + cos(x))^2 = (4sin(x)cos(x))^2.

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем уравнение.

Раскроем квадраты в обоих частях уравнения:

2(sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)) = 16sin^2(x)cos^2(x).

Сократим некоторые члены:

2(1 + sin(2x)) = 16sin^2(x)cos^2(x).

Шаг 3: Приведем уравнение к одной переменной.

Для этого заменим sin(2x) и sin^2(x)cos^2(x) с использованием известных тригонометрических тождеств:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x), sin^2(x)cos^2(x) = (1/4)sin^2(2x).

Подставим эти значения в уравнение:

2(1 + 2sin(x)cos(x)) = 16(1/4)sin^2(2x).

Упростим:

2 + 4sin(x)cos(x) = 4sin^2(2x).

Шаг 4: Решение уравнения.

Распределим члены:

4sin^2(2x) - 4sin(x)cos(x) - 2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(2x). Давайте заменим sin(2x) на t:

4t^2 - 4sin(x)cos(x) - 2 = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно t:

t = (4sin(x)cos(x) ± √[4sin(x)cos(x)]^2 - 4*4*(-2)) / (2*4).

t = (4sin(x)cos(x) ± √[16sin^2(x)cos^2(x) + 32]) / 8.

t = (sin(x)cos(x) ± √[sin^2(x)cos^2(x) + 8]) / 2.

Шаг 5: Разбиение на случаи.

Разбиваем уравнение на два случая, в зависимости от значения t:

Случай 1: t = (sin(x)cos(x) + √[sin^2(x)cos^2(x) + 8]) / 2. Случай 2: t = (sin(x)cos(x) - √[sin^2(x)cos^2(x) + 8]) / 2.

Шаг 6: Решение каждого случая.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

Случай 1: (sin(x)cos(x) + √[sin^2(x)cos^2(x) + 8]) / 2 = sin(2x).

Решение этого уравнения может быть достаточно сложным, и нет явного аналитического решения для него.

Случай 2: (sin(x)cos(x) - √[sin^2(x)cos^2(x) + 8]) / 2 = sin(2x).

Это уравнение также сложно решить аналитически.

Таким образом, решение исходного уравнения √2(sin(x) + cos(x)) = 4sin(x)cos(x) состоит из двух случаев, которые требуют численных или графических методов для получения численных приближенных значений решений.