Question

Найти множество точек изображающих комплексные числа удовлетворяющие условиям |z-i|<=1 {|z+1|<1

Answer 1

$|z - i| \leq 1, \\\\ z = x + iy, \ z - i = x +i(y - 1)\\\\ \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \leq 1\\\\ x^2 + (y - 1)^2 \leq 1$

Это определяет собой круг на комплексной плоскости, с центром в точке (0, 1) и радиусом равным 1.

$> Это определяет открытый круг на комплексной плоскости, с центром в точке (-1, 0) и радиусом равным 1. На иллюстрации те точки границы множества, которые обозначены черным цветом, не входит в него. <img src=$

Answer 2

Для нахождения множества точек, изображающих комплексные числа, которые удовлетворяют условиям |z-i| <= 1 и |z+1| < 1, мы можем использовать графический подход.

Давайте рассмотрим каждое условие отдельно и найдем соответствующие области на комплексной плоскости.

Условие |z-i| <= 1 задает окружность с центром в точке i (мнимая единица) и радиусом 1. Это означает, что все комплексные числа, которые находятся на этой окружности или внутри нее, удовлетворяют данному условию.

Условие |z+1| < 1 задает окружность с центром в точке -1 и радиусом 1. В этом случае, все комплексные числа, которые находятся внутри этой окружности, удовлетворяют условию.

Чтобы найти множество точек, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, мы должны найти пересечение этих двух областей.

Решение

Давайте нарисуем график обоих окружностей, чтобы найти их пересечение:

import matplotlib.pyplot as plt

# Окружность |z-i| <= 1
circle1 = plt.Circle((0, 1), 1, color='blue', fill=False)

# Окружность |z+1| < 1
circle2 = plt.Circle((-1, 0), 1, color='red', fill=False)

fig, ax = plt.subplots()
ax.set_aspect(1)

ax.add_artist(circle1)
ax.add_artist(circle2)

plt.xlim(-3, 2)
plt.ylim(-2, 3)
plt.xlabel('Re')
plt.ylabel('Im')
plt.title('График окружностей')

plt.grid(True)
plt.show()

После выполнения этого кода мы получим график, на котором будут показаны две окружности: синяя окружность со средней точкой в (0, 1) и радиусом 1, и красная окружность со средней точкой в (-1, 0) и радиусом 1.

this text is boldedМножество точек, которые удовлетворяют обоим условиям, будет представлять собой пересечение синей и красной окружностей. Визуально это будет область, которая находится внутри синей окружности и за исключением области, которая находится внутри красной окружности.

На графике можно увидеть, что это множество точек представляет собой открытый круг с центром в точке (-1, 1) и радиусом 1.

Таким образом, множество точек, изображающих комплексные числа, которые удовлетворяют условиям |z-i| <= 1 и |z+1| < 1, представляют собой открытый круг с центром в точке (-1, 1) и радиусом 1.