Question

Обчисліть tg α, якщо 4sinα−cosα=2cosα−sinα.

Answer 1

Смотрите решение на фото.

Answer 2

Дано рівняння: 4sinα−cosα=2cosα−sinα.

Для початку, перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння:

4sinα − cosα − 2cosα + sinα = 0.

Об'єднаємо синуси та косинуси:

4sinα + sinα = 3sinα, −cosα − 2cosα = −3cosα.

Тепер можемо спростити рівняння:

3sinα − 3cosα = 0.

Розділимо обидві частини рівняння на √(3^2 + (-3)^2) = √18 = 3√2:

(sinα - cosα)/√2 = 0.

Для того, щоб вираз був рівним нулю, може бути два випадки:

1) sinα - cosα = 0, 2) sinα = cosα.

1) sinα - cosα = 0: Застосуємо тригонометричний тотожність sin²α + cos²α = 1: (sinα - cosα)² = 0, sin²α - 2sinαcosα + cos²α = 0, 1 - 2sinαcosα = 0, 2sinαcosα = 1.

Тепер застосуємо тотожність sin(2α) = 2sinαcosα: sin(2α) = 1, 2α = arcsin(1), 2α = π/2 + 2πk, де k - ціле число, α = π/4 + πk.

2) sinα = cosα: Застосуємо тотожність sin²α + cos²α = 1: sin²α + sin²α = 1, 2sin²α = 1, sin²α = 1/2, sinα = ±√(1/2).

Тепер знайдемо значення α. За допомогою калькулятора або таблиці значень тригонометричних функцій, отримуємо два можливих значення для α:

α₁ = arcsin(√(1/2)) ≈ π/4, α₂ = π - arcsin(√(1/2)) ≈ 3π/4.

Отже, відповідь: tgα = tg(π/4) = 1, або tg(3π/4) = -1.