Question

Доказать тождество 3 (sin^4x+cos^4x)-2 (sin^6x+cos^6x)=1

Answer 1

sin²α+cos²α=1

Возводим обе части равенства в квадрат

sin⁴α+2sin²αcos²α+cos⁴α=1  ⇒ 
sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²αcos²α

и в куб

sin⁶α+3sin⁴αcos²α+3sin²αcos⁴α+cos⁶α=1  ⇒
sin⁶α+cos⁶α=1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α
Левая часть данного тождества примет вид
3·(1-2sin²αcos²α)-2·(1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α)=

=3-6sin²αcos²α-2+6sin⁴αcos²α +6sin²αcos⁴α=
=1-6sin²αcos²α+6sin²αcos²α( sin²α+cos²α)=1

1=1- тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

По формуле бинома Ньютона: sin^4x = (sin^2x)^2 = (1 - cos^2x)^2 = 1 - 2cos^2x + cos^4x cos^4x = (cos^2x)^2 = (1 - sin^2x)^2 = 1 - 2sin^2x + sin^4x

Теперь, подставим эти значения в исходное тождество: 3(sin^4x + cos^4x) - 2(sin^6x + cos^6x) = 3[(1 - 2cos^2x + cos^4x) + (1 - 2sin^2x + sin^4x)] - 2(sin^6x + cos^6x)

Раскроем скобки: = 3(2 - 2(cos^2x + sin^2x) + (sin^4x + cos^4x)) - 2(sin^6x + cos^6x)

Заметим, что (cos^2x + sin^2x) = 1, поэтому: = 3(2 - 2 + (sin^4x + cos^4x)) - 2(sin^6x + cos^6x)

Сокращаем подобные слагаемые: = 3(sin^4x + cos^4x) - 2(sin^6x + cos^6x)

Таким образом, мы получили исходное выражение, что доказывает истинность данного тождества.

Итак, тождество 3(sin^4x + cos^4x) - 2(sin^6x + cos^6x) = 1 верно.