Question

Система. x+y-z=0, x-y+z=2, -x+y+z=4

Answer 1

складываем все уравнения, получим x+y+z=6

Поочередно вычитаем отсюда каждое из уравнений, тогда

2z=6

2y=4

2x=2

или x=1, y=2, z=3.

 

Answer 2

 потрібно почленно додавати.

 

х+z=2 z=6 x=-4 y=-2

Answer 3

Дана система уравнений: 1) x + y - z = 0 2) x - y + z = 2 3) -x + y + z = 4

Для решения этой системы уравнений, можно использовать метод прямой подстановки, метод Гаусса-Жордана или метод Крамера. Давайте рассмотрим каждый из этих методов.

Метод прямой подстановки:

Воспользуемся первым уравнением, чтобы выразить переменную x. Из первого уравнения получаем: x = z - y

Подставим это значение x во второе и третье уравнения: (z - y) - y + z = 2 -z + y + z = 4

Упростим уравнения: 2z - 2y = 2 2y - z = 4

Теперь воспользуемся первым уравнением, чтобы выразить переменную z. Из первого уравнения получаем: z = 2 + 2y

Подставим это значение z во второе уравнение: 2(2 + 2y) - 2y = 2 4 + 4y - 2y = 2 2y = -2 y = -1

Теперь, когда у нас есть значение y, подставим его в первое уравнение: x + (-1) - (2 + 2(-1)) = 0 x - 1 - 2 - 2 = 0 x - 5 = 0 x = 5

Таким образом, получаем решение системы уравнений: x = 5 y = -1 z = 2 + 2(-1) = 0

Метод Гаусса-Жордана:

Для применения метода Гаусса-Жордана, составим расширенную матрицу системы уравнений:

[ 1  1 -1 |  0 ]
[ 1 -1  1 |  2 ]
[-1  1  1 |  4 ]

Применим элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду:

[ 1  1 -1 |  0 ]
[ 0 -2  2 |  2 ]
[ 0  2  2 |  4 ]

Затем, продолжим преобразования, чтобы получить матрицу в виде улучшенного ступенчатого вида:

[ 1  1 -1 |  0 ]
[ 0  1 -1 | -1 ]
[ 0  0  0 |  0 ]

Теперь, воспользуемся обратным ходом Гаусса-Жордана, чтобы выразить переменные через базисные переменные:

x + y - z = 0
y - z = -1
0 = 0

Из третьего уравнения видно, что переменная z - свободная переменная, поэтому выберем для нее произвольное значение, например, z = t.

Тогда, из второго уравнения: y - t = -1 y = -1 + t

Из первого уравнения: x + (-1 + t) - t = 0 x - 1 = 0 x = 1

Таким образом, получаем решение системы уравнений: x = 1 y = -1 + t z = t

Метод Крамера:

Для применения метода Крамера, выразим переменные x, y и z через определители:

D = | 1  1 -1 |
        | 1 -1  1 |
        |-1  1  1 |

Dx = | 0  1 -1 |
        | 2 -1  1 |
        | 4  1  1 |

Dy = | 1  0 -1 |
        | 1  2  1 |
        |-1  4  1 |

Dz = | 1  1  0 |
        | 1 -1  2 |
        |-1  1  4 |

Вычислим определители:

D = 1(1*1 - (-1*1)) - 1(1*1 - (-1*1)) - 1(1*1 - 1*(-1)) = 4 - 4 - 2 = -2

Dx = 0(1*1 - 1*(-1)) - 1(2*1 - 1*(-1)) - (-1)(2*(-1) - 1*1) = 0 - 3 - 3 = -6

Dy = 1(2*1 - 1*1) - 0(2*1 - 1*(-1)) - (-1)(1*(-1) - 1*2) = 1 - 0 + 1 = 2

Dz = 1(1*(-1) - 1*2) - 1(1*4 - (-1)*1) - (-1)(1*1 - 1*1) = -3 - 5 - 0 = -8

Теперь, найдем значения переменных:

x = Dx / D = -6 / -2 = 3

y = Dy / D = 2 / -2 = -1

z = Dz / D = -8 / -2 = 4

Таким образом, получаем решение системы уравнений: x = 3 y = -1 z = 4

Все три метода приводят к одному и тому же решению системы уравнений.