Question

Разложите на множители многочлен х(8) - 4х(4)+4

Answer 1

Значок ^ обозначает в степени
x^8 -2*x^4*2 +4=
=(x^4 -2)²
это по формуле сокращенного умножения
(a-b)²=a²-2ab+b²

Answer 2

Для разложения на множители многочлена `x^8 - 4x^4 + 4`, мы можем воспользоваться техникой факторизации по схеме Горнера (или синтетическим делением) для нахождения его корней и последующего разложения на множители.

Нахождение корней

Для начала, мы можем попытаться найти корни многочлена `x^8 - 4x^4 + 4` путем подстановки различных значений `x` и проверки, равны ли значения многочлена нулю. Однако, в данном случае это не так просто.

Мы можем заметить, что данный многочлен имеет степень 8, поэтому у него может быть не более 8 корней. Но учитывая, что все его коэффициенты являются целыми числами, корни многочлена должны быть целыми делителями свободного члена (в данном случае 4).

Учитывая эту информацию, мы можем начать проверку некоторых целых значений, таких как ±1, ±2, ±4. Подставляя эти значения в многочлен, мы видим, что ни одно из них не является корнем.

Таким образом, мы должны обратиться к другим методам, таким как графический анализ или использование численных методов для нахождения корней. Однако, для целей этого объяснения мы пойдем другим путем.

Разложение на множители

Мы можем заметить, что многочлен `x^8 - 4x^4 + 4` является квадратом двух членов. В частности, он является квадратом разности `x^4` и `2`.

Мы можем записать данное разложение следующим образом:

x^8 - 4x^4 + 4 = (x^4 - 2)^2

Таким образом, мы разложили многочлен на множители. Квадрат разности `x^4 - 2` дает нам исходный многочлен `x^8 - 4x^4 + 4`.

Проверка разложения

Чтобы убедиться, что разложение правильное, мы можем раскрыть скобки и убедиться, что получаем исходный многочлен.

(x^4 - 2)^2 = x^8 - 4x^4 + 4

После раскрытия скобок мы получаем исходный многочлен `x^8 - 4x^4 + 4`. Таким образом, наше разложение на множители верно.

Вывод

Мы разложили многочлен `x^8 - 4x^4 + 4` на множители и получили следующий результат:

x^8 - 4x^4 + 4 = (x^4 - 2)^2

Такое разложение полезно при решении уравнений, анализе графиков и других математических операциях, связанных с данным многочленом.