Question

Розвяжіть рівняння 3sin^2x-2sinxcosx-cos^2x=2, звівши його до однорідного

Answer 1

Применены : основное тригонометрическое тождество, определение тангенса, замена переменной

Answer 2

Для розв'язання даного рівняння спочатку звідси його до однорідного. Для цього скористаємося тригонометричними тотожностями.

За допомогою тотожностей: 1) sin^2(x) + cos^2(x) = 1 2) 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Ми можемо замінити вираз sin^2(x) на 1 - cos^2(x) та 2sin(x)cos(x) на sin(2x). Отримаємо:

3(1 - cos^2(x)) - 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 2

3 - 3cos^2(x) - 2sin(2x) - cos^2(x) = 2

-4cos^2(x) - 2sin(2x) + 1 = 0

Тепер ми маємо однорідне рівняння, що можемо розв'язати. Для цього зробимо заміну змінної. Позначимо cos(x) за y. Отримаємо:

-4y^2 - 2(2y - 1) + 1 = 0

-4y^2 - 4y + 2 + 1 = 0

-4y^2 - 4y + 3 = 0

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння для y:

D = (-4)^2 - 4*(-4)*3 = 16 + 48 = 64

y1,2 = (-(-4) ± √64) / (2*(-4)) = (4 ± 8) / (-8)

y1 = (4 + 8) / (-8) = 12 / (-8) = -3/2 y2 = (4 - 8) / (-8) = -4 / (-8) = 1/2

Отже, ми отримали два значення для y. Тепер повернемось до початкової змінної cos(x):

cos(x) = -3/2 або cos(x) = 1/2

Однак, знаємо, що значення косинуса повинно знаходитися в межах від -1 до 1. Тому перше рівняння не має розв'язків, а друге має розв'язок:

x = arccos(1/2) + 2πk, де k - ціле число.

Отже, розв'язком рівняння є x = π/3 + 2πk, де k - ціле число.