Question

Какие из функций являются нечётными: 1) y = x cos x; 2) y = 1 + tg x; 3) y = x – sin 5x?

Answer 1

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х). Определение 2. Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х). Пример 1. Доказать, что у = х4 — четная функция. Решение. Имеем: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Но (-х)4 = х4. Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной. Аналогично можно доказать, что функции у — х2,у = х6,у — х8 являются четными. Пример 2. Доказать, что у = х3~ нечетная функция. Решение. Имеем: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Но (-х)3 = -х3. Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной. Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х5, у = х7 являются нечетными. Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х3, у = х5, у = х7 — нечетные функции, тогда как у = х2, у = х4, у = х6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х" — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная. Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Функция Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х). Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.

Answer 2

Для того, чтобы определить, является ли функция нечетной, нужно проверить, выполняется ли условие f(-x) = -f(x) для любого x из области определения функции. Другими словами, функция нечетная, если при смене знака аргумента на противоположный меняется и знак значения функции. Попробуем применить это правило к каждой из функций:

1) y = x cos x

Если подставить -x вместо x, получим:

y = -x cos (-x)

Так как косинус - четная функция, то cos (-x) = cos x, и тогда:

y = -x cos x = - (x cos x)

Здесь видно, что y = -f(x), то есть функция нечетная.

2) y = 1 + tg x

Если подставить -x вместо x, получим:

y = 1 + tg (-x)

Так как тангенс - нечетная функция, то tg (-x) = - tg x, и тогда:

y = 1 - tg x

Здесь видно, что y не равно -f(x), то есть функция не нечетная. Она также не четная, так как y не равно f(x).

3) y = x - sin 5x

Если подставить -x вместо x, получим:

y = -x - sin 5(-x)

Так как синус - нечетная функция, то sin 5(-x) = - sin 5x, и тогда:

y = -x + sin 5x = - (x - sin 5x)

Здесь видно, что y = -f(x), то есть функция нечетная.

Итак, из трех функций нечетными являются первая и третья.