Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: y = x^4 - 8 x^2 + 5 на отрезке [-3;2]

Answer 1

нам задана функция $y=x^4-8x^2+5$

для того чтобы упростить нашу работу обозначим $x^2=a$  и тогда получим простую квадратичную функцию $k=a^2-8a+5$

 

1. областью этой функции является вся область вещественных значений аргумента и отрезок [-3;2] принадлежит этой области.

2. Найдем производную функции

$k'=2a-8$

очевидно, что производная существует во всех точках отрезка  [-3;2].

3. найдем стационарную точку для функции для чего приравняем производную к нулю

$2a-8=0$

$2a=8$

$a=4$, но мы помним, что $a=x^2$ следовательно $x=\sqrt{4}=2$

4.   и так стационарная точка совпадает с концом заданного отрезка, поэтому найдем значение функции только на его концах

$k=x^4-8x^2+5=(-3)^4-8*(-3)^2+5=-81-72+5=-148$

$k=x^4-8x^2+5=2^4-8*2^2+5=16-32+5=-11$

получаем 

maxy=y(2)=-11

miny=y(-3)=-148