Question

Найдите разность между большим и меньшим корнями уравнения √3sinx - cosx= -1 Принадлежащими отрезку [180°;360°] (Ответ в градусах)

Answer 1

$\sqrt3*sinx-cosx=-1\\ \frac{\sqrt3}{2}sinx- \frac{1}{2}cosx=- \frac{1}{2}\\cos \frac{\pi}{6}sinx-sin \frac{\pi}{6}cosx=- \frac{1}{2}\\sin( \frac{\pi}{6}-x )= \frac{1}{2}\\ \frac{\pi}{6}-x= \frac{\pi}{6}+2\pi*k\\x=-2\pi*k$
,k∈z
х=-360

Answer 2

Для решения уравнения √3sinx - cosx = -1 на интервале [180°;360°], нам необходимо найти больший и меньший корни этого уравнения и найти их разность.

Давайте решим уравнение поэтапно:

1. Приведем уравнение к виду, где одна сторона равна нулю: √3sinx - cosx + 1 = 0

2. Заменим sinx и cosx на их эквиваленты с помощью тригонометрических тождеств: √3(2sinx*cosx) - (1 - 2sin^2x) + 1 = 0

3. Упростим уравнение: 2√3sinx*cosx - 2sin^2x + 1 = 0

4. Заменим sin^2x на 1 - cos^2x с помощью тождества sin^2x + cos^2x = 1: 2√3sinx*cosx - 2(1 - cos^2x) + 1 = 0

5. Раскроем скобки и упростим уравнение: 2√3sinx*cosx - 2 + 2cos^2x + 1 = 0 2√3sinx*cosx + 2cos^2x - 1 = 0

6. Перенесем все члены уравнения на одну сторону: 2√3sinx*cosx + 2cos^2x - 1 = 0 2√3sinx*cosx + 2cos^2x = 1

7. Заменим cos^2x на 1 - sin^2x с помощью тождества sin^2x + cos^2x = 1: 2√3sinx*cosx + 2(1 - sin^2x) = 1 2√3sinx*cosx + 2 - 2sin^2x = 1 2√3sinx*cosx - 2sin^2x + 1 = 1

8. Упростим уравнение: 2√3sinx*cosx - 2sin^2x = 0

9. Факторизуем левую часть уравнения: sinx(2√3cosx - 2sinx) = 0

Теперь у нас есть два уравнения, которые должны быть равны нулю на интервале [180°;360°]:

1. sinx = 0 2. 2√3cosx - 2sinx = 0

1. Уравнение sinx = 0 имеет корни при значениях x = 180° и x = 360°.

2. Решим уравнение 2√3cosx - 2sinx = 0: Разделим обе части на 2: √3cosx - sinx = 0

Заменим sinx на √(1 - cos^2x) с помощью тождества sin^2x + cos^2x = 1: √3cosx - √(1 - cos^2x) = 0

Возведем обе части уравнения в квадрат: 3cos^2x - (1 - cos^2x) = 0 4cos^2x - 1 = 0

Решим полученное уравнение для cosx: 4cos^2x - 1 = 0 4cos^2x = 1 cos^2x = 1/4

Извлечем квадратный корень из обеих сторон: cosx = ± √(1/4) cosx = ± 1/2

Найдем углы, удовлетворяющие этому уравнению на интервале [180°;360°]: x = 180° ± arccos(1/2) x = 180° ± 60° x = 120° и x = 240°

Таким образом, мы нашли следующие корни уравнения на интервале [180°;360°]: x = 120°, x = 240°, x = 180° и x = 360°.

Теперь, чтобы найти разность между большим и меньшим корнями, мы вычитаем меньший корень из большего корня: Разность = (240° - 120°) = 120°

Ответ: Разность между большим и меньшим корнями уравнения √3sinx - cosx = -1 на интервале [180°;360°] составляет 120°.