Question

Исследуйте функцию y=2x*ln x на монотонность и экстремум.

Answer 1

Y=2x*lnx
y'=2*lnx+ 1/x *2x=2lnx + 2;
y'=0;  2lnx+2=0;  lnx=-1;  x=e^(-1);        e≈2,8;   1/2,8=10/28=5/14=0,4; x>0;
       -                           +                   y'(e)=2lne +2=4; 4>0
----------------e^(-1)-----------------.x
убывает    мин    возрастает
убывает на(00,4); возраст  на [1/e; +∞)
1/e≈0,4 точка минимума

Answer 2

Исследуем функцию y=2x*ln(x) на монотонность и экстремум.

Для начала найдем производную функции y=2x*ln(x) с помощью правила дифференцирования произведения: y' = 2*ln(x) + 2.

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 2*ln(x) + 2 = 0, 2*ln(x) = -2, ln(x) = -1, x = e^-1, x = 1/e.

Теперь найдем вторую производную функции: y'' = 2/x.

Теперь можем проверить знак второй производной в окрестности точек x=1/e и x=e^1: 1) Для x < 1/e: y'' < 0, значит функция выпукла вниз. 2) Для 1/e < x < e: y'' > 0, значит функция выпукла вверх. 3) Для x > e: y'' < 0, значит функция выпукла вниз.

Таким образом, функция y=2x*ln(x) имеет локальный максимум в точке x=1/e и локальный минимум в точке x=e. Также функция монотонно возрастает на интервале (0, 1/e) и монотонно убывает на интервале (1/e, +∞).