Question

Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2*e^x-7

Answer 1

$(x-5)^2*e^x-7$

Для нахождения локального максимума функции, найдём её стационарные точки, точки недифференцируемости и выясним поведение функции в некоторой окрестности данных точек.

Вычислим первую производную функции:
$((x-5)^2*e^x-7)'=((x-5)^2*e^x+(-7))'$
[применяем правило (u+v)'=u'+v']
$((x-5)^2*e^x)'+(-7)'$
[применяем правило (c)'=0, где c=const]
$((x-5)^2*e^x)'$
[применяем правило (uv)'=u'v+uv']
$((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*(e^x)'$
[используем $(e^x)^{(n)}=e^x$, ∀n∈$N_{0}$]
$((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*e^x=e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)$
Найдём отдельно производную сложной функции (x-5)^2:
[по правилам (f(u(x)))'=f'(u(x))*u'(x) и (x^m)'=m*x^(m-1)]
$2*(x-5)*1=2*(x-5)$
Подставим найденное значение в $e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)$:
$e^x(2*(x-5)+(x-5)^2)=e^x(x-5)(2+x-5)=e^x(x-5)(x-3)$

Приравняем производную к нулю и найдём стационарные точки, точки недифференцируемости:
$e^x(x-5)(x-3)=0$
Отсюда x=5;3 - стационарные точки. Точек недифференцируемости нет.

Рассмотрим первую стационарную точку x=5. При x↑ производная меняет знак с "-" на "+" => x=5 - точка локального минимума функции.
Теперь рассмотрим стационарную точку x=3. При x↑ производная меняет знак с "+" на "-" => x=3 - точка локального максимума функции.

Ответ: 3.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции, мы должны сначала найти производную функции и приравнять ее к нулю. Затем мы можем решить полученное уравнение, чтобы найти значения x, соответствующие точкам максимума.

Давайте найдем производную функции у=(х-5)^2*e^x-7. Для этого мы можем использовать правила дифференцирования. Воспользуемся правилом производной для произведения функций и правилом дифференцирования для экспоненты:

Учитывая функцию f(x) = (x-5)^2 * e^x - 7, найдем ее производную:

f'(x) = (2*(x-5)*e^x + (x-5)^2*e^x)' - 0 = 2*(x-5)*e^x + 2*(x-5)*e^x + (x-5)^2*e^x = 4*(x-5)*e^x + (x-5)^2*e^x

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4*(x-5)*e^x + (x-5)^2*e^x = 0

Вынесем общий множитель e^x:

e^x * (4*(x-5) + (x-5)^2) = 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором мы можем решить для x:

4*(x-5) + (x-5)^2 = 0

Раскроем квадрат:

4*(x-5) + x^2 - 10x + 25 = 0

Соберем все члены в одну сторону:

x^2 - 6x + 25 = 0

Это уравнение является квадратным. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или метод полного квадрата. Решим его с помощью квадратного уравнения:

x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4*1*25)) / (2*1) x = (6 ± √(36 - 100)) / 2 x = (6 ± √(-64)) / 2

Теперь мы сталкиваемся с квадратным корнем из отрицательного числа, что означает, что у этого уравнения нет действительных корней. Это означает, что у функции у=(х-5)^2*e^x-7 нет точки максимума.