Question

Решите уравнение (x^2+2*x)^2-2(x+1)^2=1

Answer 1

==============================================================

Answer 2

Для начала решим уравнение \((x^2+2x)^2-2(x+1)^2=1\).

Подстановка переменной

Для удобства введем новую переменную \(y = x^2 + 2x\). Тогда уравнение примет вид:

\[y^2 - 2(x+1)^2 = 1\]

Решение уравнения

Теперь это уравнение можно рассматривать как уравнение вида \(z^2 - 2u^2 = 1\), где \(z = y\) и \(u = x + 1\). Данное уравнение является уравнением Пелля.

Уравнение Пелля

Уравнение Пелля имеет вид \(z^2 - D \cdot u^2 = 1\), где \(D\) не является полным квадратом. В данном случае \(D = 2\), а значит, уравнение примет вид \(z^2 - 2u^2 = 1\).

Нахождение всех решений

Решения уравнения Пелля можно найти с помощью теории диофантовых уравнений. Одно из возможных решений данного уравнения можно найти следующим образом:

\[z_0 + u_0\sqrt{D} = (3 + 2\sqrt{2})^k\]

где \(k\) - натуральное число, и \(z_0, u_0\) - частное решение уравнения Пелля.

Нахождение частного решения

Частное решение уравнения Пелля можно найти путем нахождения приближенных значений для \(\sqrt{D}\) и последующего нахождения ближайших к этим приближенным значениям целых чисел \(z_0, u_0\), удовлетворяющих уравнению \(z_0^2 - Du_0^2 = 1\).

Вычисление решения

После нахождения частного решения можно построить последовательность решений уравнения Пелля и выбрать из нее те, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Таким образом, решение уравнения \((x^2+2x)^2-2(x+1)^2=1\) сводится к нахождению всех целых решений уравнения Пелля \(z^2 - 2u^2 = 1\).