Question

Помогите пожалуйста! Найдите наибольшее значение выражения 5x^2-8xy+y^2, если 2x-y=2

Answer 1

2x-y=2

y = 2x - 2 = 2(x-1)

5x^2-8xy+y^2 = 5x^2 - 8x(2x-2) + 4(x-1)^2 = 5x^2 - 16x^2 + 16x +4x^2 - 8x + 4 = 

=-7x^2 +8x + 4

-7x^2 +8x + 4 - это парабола с ветвями, направленными вниз. максимальное значение в вершине параболы
найдем вершину параболы:

(-7x^2 +8x + 4)' = -14x + 8

-14x + 8 = 0

x = 4/7

 

5x^2-8xy+y^2 = -7x^2 +8x + 4 = -7*16/49 +8*4/7 +4 = 44/7 - максимальное значение

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение выражения 5x^2 - 8xy + y^2 при условии 2x - y = 2, мы можем использовать метод завершения квадрата или метод частных производных.

Метод завершения квадрата

1. Перепишем выражение 5x^2 - 8xy + y^2 в виде полного квадрата: 5x^2 - 8xy + y^2 = (3x - y)^2 - 2(2x)(3x - y)

2. Подставим значение 2x - y = 2 в полученное выражение: (3x - y)^2 - 2(2x)(3x - y) = (3x - 2)^2 - 2(2x)(3x - 2)

3. Раскроем скобки и упростим выражение: (3x - 2)^2 - 2(2x)(3x - 2) = 9x^2 - 12x + 4 - 12x^2 + 16x = -3x^2 + 4x + 4

4. Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, возьмем производную и приравняем ее к нулю: d(-3x^2 + 4x + 4)/dx = -6x + 4 = 0

5. Решим это уравнение для x: -6x + 4 = 0 -6x = -4 x = 2/3

6. Подставим найденное значение x обратно в исходное уравнение 2x - y = 2 для нахождения значения y: 2(2/3) - y = 2 4/3 - y = 2 -y = 2 - 4/3 -y = 2/3 y = -2/3

7. Таким образом, наибольшее значение выражения 5x^2 - 8xy + y^2 при условии 2x - y = 2 равно: 5(2/3)^2 - 8(2/3)(-2/3) + (-2/3)^2 = 20/9 + 32/9 + 4/9 = 56/9

Метод частных производных

1. Запишем выражение 5x^2 - 8xy + y^2 как функцию двух переменных f(x, y) = 5x^2 - 8xy + y^2.

2. Запишем уравнение 2x - y = 2 как функцию g(x, y) = 2x - y - 2.

3. Поставим условие, что градиент f(x, y) должен быть коллинеарен градиенту g(x, y): ∇f(x, y) = λ∇g(x, y), где ∇ обозначает оператор градиента, а λ - множитель Лагранжа.

4. Распишем градиенты: ∇f(x, y) = (10x - 8y, -8x + 2y) ∇g(x, y) = (2, -1)

5. Запишем уравнения: 10x - 8y = 2λ -8x + 2y = -λ

6. Решим эти уравнения: Умножим первое уравнение на 4 и сложим с вторым: 40x - 32y + (-8x + 2y) = 8λ - λ 32x - 30y = 7λ

Разделим первое уравнение на 8 и сложим с вторым: 5x - 4y + (-8x + 2y) = 2λ - λ -3x - 2y = λ

Получаем систему уравнений: 32x - 30y = 7λ -3x - 2y = λ

7. Решим эту систему уравнений для x и y: Поделим первое уравнение на 2 и сложим с вторым: 16x - 15y - 3x - 2y = 7λ + λ 13x - 17y = 8λ

Умножим второе уравнение на 13 и вычтем из первого: 13x - 17y - (13x - 15y) = 8λ - 3λ -2y = 5λ y = -5λ/2

Подставим найденное значение y обратно во второе уравнение: -3x - 2(-5λ/2) = λ -3x + 5λ = λ -3x = -4λ x = 4λ/3

8. Подставим найденные значения x и y обратно в функцию f(x, y) = 5x^2 - 8xy + y^2: f(4λ/3, -5λ/2) = 5(4λ/3)^2 - 8(4λ/3)(-5λ/2) + (-5λ/2)^2 f(4λ/3, -5λ/2) = (80λ^2/9) + (80λ^2/3) + (25λ^2/4) f(4λ/3, -5λ/2) = (320λ^2/9) + (240λ^2/9) + (225λ^2/36) f(4λ/3, -5λ/2) = (785λ^2/36)

9. Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, найдем максимальное значение λ. Заметим, что уравнение g(x, y) = 2x - y - 2 имеет решение при x = 2/3 и y = -2/3, как мы установили ранее.

10. Подставим найденные значения x и y обратно в уравнение g(x, y) = 2x - y - 2: 2(2/3) - (-2/3) - 2 = 4/3 + 2/3 - 2 = 2

11. Таким образом, наибольшее значение выражения 5x^2 - 8xy + y^2 при условии 2x - y = 2 равно: f(4λ/3, -5λ/2) = (785λ^2/36) Максимальное значение достигается при λ = 2/3. f(4(2/3)/3, -5(2/3)/2) = (320(2/3)^2/9) + (240(2/3)^2/9) + (225(2/3)^2/36) = 56/9

Таким образом, наибольшее значение выражения 5x^2 - 8xy + y^2 при условии 2x - y = 2 равно 56/9.