Question

Помогите пожалуйста!! Очень срочно нужно!!! Найдите точку максимума функции y=6• In(x+9)-6x+4

Answer 1

1) Найдем производную функции, приравняем к нулю (тем самым найдем точки экстремума):
ОДЗ: $x+9>0$
$x>-9$

$y'=\frac{6}{x+9}-6=0$
$\frac{6}{x+9}=6$
$x+9=1$
$x=-8$ - удовлетворяет ОДЗ

2) y'>0 при x∈(-9;-8) - функция возрастает
y'<0 при x∈(-8;+бесконечность) - функция убывает
х=-8 - точка максимума
$y(-8)=6*ln(-8+9)-6*(-8)+4=6*ln1+48+4=52$

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = 6 * ln(x + 9) - 6x + 4, мы можем использовать производные функции. Производная позволяет нам найти места, где функция имеет экстремумы, такие как минимумы и максимумы.

Нахождение производной функции

Давайте найдем производную функции y по переменной x. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования для сложных функций.

1. Найдем производную сложной функции 6 * ln(x + 9): - Правило дифференцирования для ln(u) гласит: (ln(u))' = u' / u, где u - функция внутри ln. - В данном случае, u = x + 9, поэтому u' = 1. - Производная ln(x + 9) равна (1) / (x + 9).

2. Теперь найдем производную для -6x: - Правило дифференцирования для -cx гласит: (cx)' = -c, где c - константа. - В данном случае, c = 6, поэтому (-6x)' = -6.

Теперь соберем все вместе:

Производная функции y равна: y' = (6 / (x + 9)) - 6

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Чтобы найти такие точки, приравняем производную функции y к нулю и решим уравнение:

(6 / (x + 9)) - 6 = 0

Давайте решим это уравнение:

(6 / (x + 9)) - 6 = 0 6 / (x + 9) = 6 1 / (x + 9) = 1 x + 9 = 1 x = 1 - 9 x = -8

Таким образом, точка экстремума функции находится при x = -8.

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, мы можем проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Для этого найдем вторую производную функции y. Производная второго порядка позволяет нам определить тип экстремума:

1. Найдем производную второго порядка для (6 / (x + 9)) - 6: - Правило дифференцирования для 1 / (x + 9) гласит: (1 / (x + 9))' = -1 / (x + 9)^2. - Так как мы имеем дело с константой -6, ее производная равна 0. - Таким образом, производная второго порядка равна -1 / (x + 9)^2.

2. Подставим x = -8 в производную второго порядка: - (-1 / (-8 + 9)^2) = -1 / 1 = -1.

Теперь мы можем сделать выводы:

1. Если производная второго порядка отрицательна, то точка экстремума является максимумом. 2. Если производная второго порядка положительна, то точка экстремума является минимумом. 3. Если производная второго порядка равна нулю, то результаты неоднозначны.

В нашем случае, производная второго порядка равна -1, что означает, что найденная точка экстремума x = -8 является максимумом функции y = 6 * ln(x + 9) - 6x + 4.

Найденная точка максимума

Таким образом, точка максимума функции y = 6 * ln(x + 9) - 6x + 4 находится при x = -8. Чтобы найти соответствующее значение y, мы можем подставить x = -8 в исходную функцию:

y = 6 * ln((-8) + 9) - 6 * (-8) + 4 y = 6 * ln(1) + 48 + 4 y = 6 * 0 + 48 + 4 y = 48 + 4 y = 52

Таким образом, точка максимума функции находится при x = -8 и y = 52.