Question

Коллинеарны ли векторы с1 и с2 построенные по векторам а и б? a{ -9,5,,3} b{ 7,1,-2} c1=2a-b, c2=3a+5b

Answer 1

Если я правильно понял задание то:

Составим векторы c1 и c2 для этого вместо а и b подставим значения координат векторов приведенных в задании и руководствуясь правилами умножения и сложения векторов получим

 

$c1=2*\left[\begin{array}{c}-9\\5\\3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}7\\1\\-2\end{array}\right] c2 = 3* \left[\begin{array}{c}-9\\5\\3\end{array}\right]+5*\left[\begin{array}{c}7\\1\\-2\end{array}\right]$ 

 

Получаем

$c1=\left[\begin{array}{c}-25\\9\\8\end{array}\right] c2=\left[\begin{array}{c}8\\20\\-1\end{array}\right]$ 

 

Способ 1: 

Необходимым и достаточным условие коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения

векторное произведение [a,b] для произвольных векторов а=(а1,а2,а3) и b=(b1,b2,b3) вычисляется по формуле

[a,b]={a2*b3-a3*b2; a3*b1-a1*b3; a1*b2-b1*a2} 

Вычисляя по этой формуле векторное произведение c1 и с2 получаем:

[c1,c2]={-169; 39; -572} он не равен нулевому вектору, значит вектора не коллинеарны.

 

Способ 2:

Векторы будут коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такая константа m, что с1=m*c2

чтобы выяснить ее существование рассмотрим соотношение соответсвующих координат векторов c1 и с2

$\frac{c1_x}{c2_x}=\frac{-25}{8}$ 

$\frac{c1_y}{c2_y}=\frac{9}{20}$ 

$\frac{c1_z}{c2_z}=\frac{8}{-1}$ 

Получаем что:

$\frac{-25}{8}\neq \frac{9}{20}\neq \frac{8}{-1}$ 

Значит такой константы m не существуют, векторы не коллинеарны 

Answer 2

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b, нужно проверить, равны ли они с точностью до масштабирования.

Вектор a = {-9, 5, 3} Вектор b = {7, 1, -2}

Теперь построим векторы c1 и c2: c1 = 2a - b = 2{-9, 5, 3} - {7, 1, -2} = {-18, 10, 6} - {7, 1, -2} = {-25, 9, 8} c2 = 3a + 5b = 3{-9, 5, 3} + 5{7, 1, -2} = {-27, 15, 9} + {35, 5, -10} = {8, 20, -1}

Теперь мы можем проверить, коллинеарны ли они. Для этого нужно проверить, можно ли один вектор получить из другого путем умножения на константу.

Если векторы коллинеарны, то существует такая константа k, что c1 = k * c2.

Попробуем найти такую константу: {-25, 9, 8} = k * {8, 20, -1}

Для этого нужно разделить соответствующие компоненты векторов: -25 / 8 = k 9 / 20 = k 8 / (-1) = k

Мы видим, что невозможно найти одну константу k, которая удовлетворяла бы всем трем уравнениям. Поэтому векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b, не коллинеарны.