Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2x-x^2 x+y=0

Answer 1

Ограниченные линии: -x = 2x - x²
x² - 3x = 0
x (x-3) = 0
x1 = 0
x2 = 3

∫³₀(2x-x² - (-x))dx = ∫³₀(3x-x²) dx = ((3x²/2) - (x³/3)) |₀³ = (27/2) - 9 = 4.5 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 2x - x^2 и x + y = 0, нам понадобится найти точки пересечения этих двух линий. Затем мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади между этими линиями.

Найдем точки пересечения

Для начала, найдем точки пересечения линий y = 2x - x^2 и x + y = 0.

Линия y = 2x - x^2 задает параболу, а линия x + y = 0 - прямую.

Подставим x + y = 0 в уравнение параболы: x + (2x - x^2) = 0 3x - x^2 = 0 x(3 - x) = 0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: 1) x = 0 2) 3 - x = 0 => x = 3

Подставим найденные значения x в уравнение x + y = 0, чтобы найти соответствующие значения y: 1) x = 0 => 0 + y = 0 => y = 0 2) x = 3 => 3 + y = 0 => y = -3

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (3, -3).

Вычисление площади

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями.

Для вычисления площади, нам необходимо найти интеграл от (y1(x) - y2(x)) dx, где y1(x) и y2(x) - это уравнения линий, ограничивающих фигуру.

Для нашего случая, у нас есть две области, которые нужно учесть: 1) Область выше параболы y = 2x - x^2 и ниже прямой x + y = 0. 2) Область ниже параболы y = 2x - x^2 и выше прямой x + y = 0.

Вычисление площади для области выше параболы и ниже прямой

Для вычисления площади первой области, мы будем интегрировать от левой точки пересечения до правой точки пересечения.

Интеграл будет выглядеть следующим образом: S1 = ∫[x1, x2] (y1(x) - y2(x)) dx

где x1 и x2 - это значения x для точек пересечения (0 и 3), y1(x) = 2x - x^2 и y2(x) = -x.

Вычислим этот интеграл: S1 = ∫[0, 3] (2x - x^2 - (-x)) dx = ∫[0, 3] (2x - x^2 + x) dx = ∫[0, 3] (3x - x^2) dx

Для интегрирования этого уравнения, раскроем скобки: S1 = ∫[0, 3] (3x - x^2) dx = ∫[0, 3] 3x dx - ∫[0, 3] x^2 dx

После интегрирования получим: S1 = (3/2)x^2 - (1/3)x^3 |[0, 3] = (3/2)(3)^2 - (1/3)(3)^3 - (3/2)(0)^2 + (1/3)(0)^3 = (3/2)(9) - (1/3)(27) = 27/2 - 9 = 9/2

Таким образом, площадь для области выше параболы и ниже прямой равна 9/2 или 4.5.

Вычисление площади для области ниже параболы и выше прямой

Для вычисления площади второй области, мы также будем интегрировать от левой точки пересечения до правой точки пересечения.

Интеграл будет выглядеть следующим образом: S2 = ∫[x2, x3] (y2(x) - y1(x)) dx

где x2 и x3 - это значения x для точек пересечения (0 и 3), y2(x) = -x и y1(x) = 2x - x^2.

Вычислим этот интеграл: S2 = ∫[0, 3] (-x - (2x - x^2)) dx = ∫[0, 3] (-x - 2x + x^2) dx = ∫[0, 3] (x^2 - 3x) dx

После интегрирования получим: S2 = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 |[0, 3] = (1/3)(3)^3 - (3/2)(3)^2 - (1/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2 = (1/3)(27) - (3/2)(9) = 9 - 13.5 = -4.5

Таким образом, площадь для области ниже параболы и выше прямой равна -4.5.

Итоговая площадь

Чтобы получить итоговую площадь фигуры, мы должны сложить площади обеих областей: S = S1 + S2 = 4.5 + (-4.5) = 0

Полученный результат равен нулю. Это означает, что площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x - x^2 и x + y = 0, равна нулю. Вероятно, это связано с тем, что эти две линии пересекаются и образуют фигуру с нулевой площадью.