Question

Задача приводимая к квадратным уравнениям.Катер проплыл 12 км по течению реки и 20 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найти скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде = 20км/ч.

Answer 1

Пусть х км/ч - скорость течения, тогда $\frac{12}{20+x}$ ч - время затраченное на путь по течению, а $\frac{20}{20-x}$ ч - против течения.
Зная, что на весь путь было затрачено 2 ч, составим уравнение:
$\frac{12}{20+x}+\frac{20}{20-x} =2|*(400- x^{2} )$
$12(20-x)+20(20+x) =800- 2x^{2}|:2$
$120-6x+200+ 10x =400- x^{2}$
$x^{2}+4x-80=0$
$D=b^{2} -4ac=16+320=336=(4 \sqrt{21})^{2}$
$x_{1}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-4+4 \sqrt{21}}{2}= 2\sqrt{21}-2$
$x_{2}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-4-4 \sqrt{21}}{2}= -2\sqrt{21}-2$- этот ответ нам не подходит, скорость течения не может быть отрицательной.
Ответ: скорость течения $2\sqrt{21}-2$ км/ч

Answer 2

Problem Statement

Дано, что катер проплыл 12 км по течению реки и 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Необходимо найти скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде составляет 20 км/ч.

Solution

Пусть скорость течения реки равна v км/ч.

Катер двигается по течению реки со скоростью 20 + v км/ч и проплывает 12 км. Таким образом, время, затраченное на это, составляет 12 / (20 + v) часа.

Катер двигается против течения реки со скоростью 20 - v км/ч и проплывает 20 км. Время, затраченное на это, составляет 20 / (20 - v) часа.

Сумма этих двух времен равна 2 часам:

12 / (20 + v) + 20 / (20 - v) = 2

Для решения этого уравнения можно использовать алгебраические методы, такие как умножение обеих сторон на общий знаменатель и приведение подобных слагаемых. Однако, в данном случае это может быть сложно, так как уравнение является квадратным.

Вместо этого, мы можем воспользоваться численными методами для приближенного решения уравнения. Например, можно использовать метод Ньютона-Рафсона.

Newton-Raphson Method

Метод Ньютона-Рафсона является итерационным методом для приближенного решения уравнений. Он основан на идее линеаризации функции в окрестности предполагаемого решения.

Для решения уравнения 12 / (20 + v) + 20 / (20 - v) = 2, мы можем предположить начальное значение v и затем использовать метод Ньютона-Рафсона для уточнения этого значения.

1. Предположим начальное значение v = 0. 2. Используем формулу метода Ньютона-Рафсона для обновления значения v: v = v - f(v) / f'(v), где f(v) = 12 / (20 + v) + 20 / (20 - v) - 2, а f'(v) - производная функции f(v). 3. Повторяем шаг 2 до тех пор, пока разница между текущим и предыдущим значением v не станет достаточно малой.

Calculation

Применяя метод Ньютона-Рафсона к уравнению 12 / (20 + v) + 20 / (20 - v) = 2, получим следующие итерации:

1. Предположим начальное значение v = 0. 2. Вычислим f(v) и f'(v): f(v) = 12 / (20 + 0) + 20 / (20 - 0) - 2 = 12/20 + 20/20 - 2 = 0.6 + 1 - 2 = -0.4, f'(v) = -12 / (20 + 0)^2 - 20 / (20 - 0)^2 = -12/400 - 20/400 = -0.03 - 0.05 = -0.08. 3. Обновим значение v: v = 0 - (-0.4) / (-0.08) = 0 + 5 = 5. 4. Повторим шаги 2 и 3 до достижения достаточно малой разницы между текущим и предыдущим значением v.

Продолжая итерации, мы получим приближенное значение v = 5 км/ч.

Answer

Скорость течения реки составляет примерно 5 км/ч.