Question

5. Докажите,что значение выражения 1 делённое на 2√7-1 и минус 1 делённое на 2√7+1 есть число рациональное.

Answer 1

$\frac{1}{2 \sqrt{7}-1 } - \frac{1}{2 \sqrt{7}+1 }= \frac{2 \sqrt{7}+1-(2 \sqrt{7}-1) }{(2 \sqrt{7}-1)(2 \sqrt{7}+1) }= \frac{2 \sqrt{7}+1-2 \sqrt{7}+1 }{(2 \sqrt{7})^2-1^2 }= \frac{2}{4*7-1}= \frac{2}{28-1}= \frac{2}{27} \\\\ \frac{2}{27}\in Q$

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения

(1 / (2√7 - 1)) - (1 / (2√7 + 1))

является рациональным числом, мы можем воспользоваться методом рационализации знаменателя. Давайте разберемся подробнее.

Рационализация знаменателя

Мы начнем с рационализации знаменателей обоих дробей в данном выражении. Рационализация знаменателя означает устранение иррациональности в знаменателе путем умножения и деления на определенные значения таким образом, чтобы оно стало рациональным.

Для первой дроби:

1 / (2√7 - 1)

мы можем применить формулу сопряженного знаменателя, чтобы рационализировать его. Умножим и разделим знаменатель на его сопряженное значение:

(1 / (2√7 - 1)) * ((2√7 + 1) / (2√7 + 1))

Теперь знаменатель становится рациональным числом:

(2√7 + 1) / ((2√7)^2 - 1^2)

Упрощая этот знаменатель, получим:

(2√7 + 1) / (4 * 7 - 1)

(2√7 + 1) / 27

Аналогично, для второй дроби:

1 / (2√7 + 1)

мы можем рационализировать его знаменатель, умножив и разделив его на сопряженное значение:

(1 / (2√7 + 1)) * ((2√7 - 1) / (2√7 - 1))

Знаменатель становится рациональным числом:

(2√7 - 1) / ((2√7)^2 - 1^2)

Упрощая этот знаменатель, получим:

(2√7 - 1) / (4 * 7 - 1)

(2√7 - 1) / 27

Вычисление значения выражения

Теперь, когда мы рационализировали знаменатели, мы можем вычислить значение исходного выражения:

((2√7 + 1) / 27) - ((2√7 - 1) / 27)

Общий знаменатель позволяет нам вычесть числители:

(2√7 + 1 - 2√7 + 1) / 27

(2 + 1 - 2)√7 / 27

1√7 / 27

Так как √7 является иррациональным числом, а рациональные числа можно представить в виде отношения двух целых чисел, мы видим, что значение выражения 1√7 / 27 также является иррациональным числом.

Отсюда следует, что значение исходного выражения (1 / (2√7 - 1)) - (1 / (2√7 + 1)) не является рациональным числом.