Question

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5 . Найдите сумму кубов ее членов

Answer 1

B1/(1-q)=9     b1²/(1-q²)  =40.5

b1=9(1-q)    81(1-q)²=40.5(1-q²)
81-2*81*q+81q²=40.5-40.5q²
делим на 40,5

2-4q+2q²=1-q²    3q²-4q+1=0   D=4  корни 1 и 1/3 речь о беск.убыв. геом. прогрессии и мы оставляем только q=1/3

b1= 9*2/3=6   сумма кубов  b1³/(1-q³)=216/(1-1/27)=216*27/26=5832/26=
=2916/13

Answer 2

Давайте решим данную задачу по нахождению суммы кубов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q (|q| < 1). Тогда сумма всех членов прогрессии будет равна:

S = a / (1 - q)

Также дано, что сумма всех членов прогрессии равна 9:

a / (1 - q) = 9 (уравнение 1)

И сумма квадратов всех членов прогрессии равна 40.5:

a^2 / (1 - q^2) = 40.5 (уравнение 2)

Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки.

Из уравнения 1 можно выразить a:

a = 9(1 - q)

Подставим это значение a в уравнение 2:

(9(1 - q))^2 / (1 - q^2) = 40.5

Раскроем квадрат:

81(1 - 2q + q^2) / (1 - q^2) = 40.5

Упростим уравнение:

81 - 162q + 81q^2 = 40.5 - 40.5q^2

Уберем дроби:

81 - 162q + 81q^2 = 40.5 - 40.5q^2

81 - 162q + 81q^2 - 40.5 + 40.5q^2 = 0

120.5q^2 - 121.5q + 40.5 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня:

q = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 120.5, b = -121.5 и c = 40.5.

Подставим значения и решим:

q = (-(-121.5) ± √((-121.5)^2 - 4 * 120.5 * 40.5)) / (2 * 120.5)

q = (121.5 ± √(14822.25 - 19698)) / 241

q = (121.5 ± √(-4875.75)) / 241

Так как дискриминант отрицательный, у нас нет реальных корней. Это означает, что данная геометрическая прогрессия не имеет конечной суммы.

Таким образом, мы не можем найти сумму кубов членов данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии.