Question

Докажите, что если L и B корни многочлена P(x), то P(x) делится на (x-L)(x-B)

Answer 1

Будем считать, что L≠B. Иначе утверждение не верно (или тогда в условии должно быть что-то сказано про кратность корня. Но в этом случае не будет задачи, т.к. если кратность, допустим корня В больше или равна 2, то по определению кратности корня это и значит делимость многочлена на (x-B)²).

Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т.к. В - тоже корень многочлена P(x), то  P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т.е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.

Answer 2

Доказательство того, что если L и B являются корнями многочлена P(x), то P(x) делится на (x-L)(x-B)

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо воспользоваться фактом о том, что если L является корнем многочлена P(x), то (x-L) является его множителем. Аналогично, если B является корнем многочлена P(x), то (x-B) также является его множителем.

Поскольку L и B являются корнями многочлена P(x), мы можем записать P(x) в виде произведения многочленов, где каждый множитель соответствует одному из корней:

P(x) = (x-L)(x-B)Q(x),

где Q(x) - некоторый многочлен.

Таким образом, мы видим, что P(x) делится на (x-L)(x-B), так как оно представляет собой произведение этих двух множителей, умноженное на многочлен Q(x).

Доказательство завершено.