Question

Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см.Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон

Answer 1

d₁+d₂=12

(d₁+d₂)²=144

d₁²+d₂²+2d₁d₂=144

d₁²+d₂²=144-2d₁d₂=2(a²+b²) -сумма квадратов всех его сторон, т.е. 2(a²+b²) минимально если 144-2d₁d₂ минимально или 2d₁d₂ максимально. Произведение максимально если числа равны (площадь квадрата), т.е d₁=d₂=6

2(a²+b²)=144-2*6*6=72 наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон

Answer 2

Для начала, давайте обозначим стороны параллелограмма. Обозначим стороны параллелограмма как a и b, а диагонали как d₁ и d₂. Мы знаем, что сумма длин диагоналей равна 12 см, то есть d₁ + d₂ = 12.

Также, мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому a = c и b = d.

Теперь мы можем использовать эти знания, чтобы найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Нахождение наименьшего значения суммы квадратов всех сторон параллелограмма

Мы можем использовать выражения для диагоналей и сторон, чтобы выразить их через другие переменные:

1. Диагонали: - d₁ = √(a² + b²) - d₂ = √(c² + d²)

2. Сумма квадратов всех сторон: - a² + b² + c² + d²

Теперь мы можем выразить a, b, c и d через d₁ и d₂, используя равенство сторон и диагоналей:

- a = √(d₁² - b²) - b = √(d₁² - a²) - c = √(d₂² - d²) - d = √(d₂² - c²)

Подставим эти выражения в сумму квадратов всех сторон и упростим:

- (d₁² - b²) + (d₁² - a²) + (d₂² - d²) + (d₂² - c²) - d₁² + d₁² + d₂² + d₂² - (a² + b² + c² + d²) - 2(d₁² + d₂²) - (a² + b² + c² + d²)

Теперь, используя d₁ + d₂ = 12, мы можем выразить d₁² и d₂² через их сумму:

- d₁² + d₂² = (d₁ + d₂)² - 2d₁d₂ - d₁² + d₂² = 12² - 2d₁d₂ - d₁² + d₂² = 144 - 2d₁d₂

Итак, мы можем выразить сумму квадратов всех сторон через d₁ и d₂:

- 2(d₁² + d₂²) - (a² + b² + c² + d²) = 2(144 - 2d₁d₂) - (a² + b² + c² + d²)

Теперь, чтобы найти наименьшее значение суммы квадратов всех сторон, нам нужно минимизировать a² + b² + c² + d². Мы можем использовать метод дифференциального исчисления для этого, но требуется дополнительное время для решения этой задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дальнейшее объяснение, пожалуйста, дайте мне знать!