Question

2sinx-cosx=Корень из 5/2

Answer 1

2sinx-cosx=√5/2
√5 sin(x-arcsin(√5/5)=√5/2
sin(x-arcsin(√5/5)=1/2
x-arcsin(√5/5)=(-1)^n * (π/6) +πn,n∈Z
x=(-1)^n * (π/6)+arcsin(√5/5) +πn,n∈Z

Answer 2

$a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2-b^2} \sin(x\pm\arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}} )$
В нашем случае, будет
$\sqrt{2^2+1^2}\sin(x-\arcsin \frac{1}{ \sqrt{2^2+1^2} } )= \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{2} } \\ \sqrt{5} \sin(x-\arcsin \frac{1}{ \sqrt{5} } )= \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{2}} |: \sqrt{5} \\ \sin(x-\arcsin\frac{1}{ \sqrt{5} } )= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x-\arcsin\frac{1}{ \sqrt{5} } =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+ \pi k,k \in Z\\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{1}{ \sqrt{5} } + \pi k,k \in Z$

Answer 3

Чтобы решить уравнение 2sin(x) - cos(x) = √5/2, можно использовать различные методы. Один из подходов состоит в преобразовании уравнения и использовании тригонометрических идентичностей.

Давайте преобразуем данное уравнение:

2sin(x) - cos(x) = √5/2

Мы можем использовать идентичности sin(α-β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β) и sin²(α) + cos²(α) = 1, чтобы преобразовать уравнение. Возьмем α = x и β = -π/4:

2sin(x) - cos(x) = √5/2 2(sin(x)cos(-π/4) - cos(x)sin(-π/4)) = √5/2 2(sin(x) * √2/2 - cos(x) * √2/2) = √5/2 √2sin(x) - √2cos(x) = √5/2

Теперь мы можем воспользоваться идентичностью sin(α) = cos(π/2 - α), чтобы преобразовать уравнение:

√2sin(x) - √2cos(x) = √5/2 √2sin(x) - √2cos(x) = √2 * √2/√5 √2(sin(x) - cos(x)) = √2/√5 sin(x) - cos(x) = 1/√5

Теперь, заметим, что sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2. Поэтому мы можем применить тригонометрическую идентичность sin(α) - cos(α) = √2sin(α - π/4):

sin(x) - cos(x) = 1/√5 √2sin(x - π/4) = 1/√5

Теперь, домножим обе части уравнения на √5/√2:

√2 √5/√2 sin(x - π/4) = 1/√5 * √5/√2 √10 sin(x - π/4) = 1/√2 sin(x - π/4) = 1/√10

Так как sin(α) = β эквивалентно α = arcsin(β), мы можем применить обратную функцию синуса к обеим сторонам уравнения:

x - π/4 = arcsin(1/√10)

Теперь, чтобы найти значение x, нужно добавить π/4 к обеим сторонам:

x = π/4 + arcsin(1/√10)

Таким образом, решением уравнения 2sin(x) - cos(x) = √5/2 является x = π/4 + arcsin(1/√10).