Question

Y=sin^2*2^x/2^x^2 найти производную

Answer 1

$y=sin^2 \frac{2^{x}}{2^{x^2}}\quad \Rightarrow \quad y=sin^2(2^{x-x^2})\\\\ (u^2)'=2u\cdot u'\; ,\; \; \; u=sin(2^x-x^2})\\\\y'=2\cdot sin (2^{x-x^2})\cdot \Big (sin(2^{x-x^2})\Big )'=[\; (sinu)'=cosu\cdot u'\; ]=\\\\=2\cdot sin(2^{x-x^2})\cdot cos(2^{x-x^2})\cdot \Big (2^{x-x^2}\Big )'=[\; (2^{u})'=2^{u}\cdot ln2\cdot u'\; ]=$

$=2\cdot sin(2^{x-x^2})\cdot cos(2^{x-x^2})\cdot 2^{x-x^2}\cdot ln2\cdot (x-x^2)'=\\\\=sin(2\cdot 2^{x-x^2})\cdot 2^{x-x^2}\cdot ln2\cdot (1-2x)=\\\\=sin(2^{x-x^2+1})\cdot 2^{x-x^2}\cdot ln2\cdot (1-2x)$

Answer 2

Для нахождения производной функции Y = sin^2(2^x) / 2^(x^2), мы будем использовать правило производной частного и правило производной сложной функции.

Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции sin^2(2^x).

Используя правило производной сложной функции, мы должны сначала найти производную внутренней функции, а затем умножить ее на производную внешней функции.

Пусть u = 2^x. Тогда u^2 = (2^x)^2 = 2^(2x).

Теперь мы имеем функцию Y = sin^2(u) / 2^(x^2), где u = 2^x.

Чтобы найти производную функции sin^2(u), мы можем использовать правило производной для функции sin^2(x), где x заменяется на u.

Производная sin^2(u) равна 2 * sin(u) * cos(u), так как sin^2(u) = (sin(u))^2.

Теперь у нас есть производная внешней функции sin^2(u), которая равна 2 * sin(u) * cos(u), и производная внутренней функции u = 2^x, которая равна ln(2) * 2^x.

Теперь мы можем умножить эти две производные:

d(sin^2(2^x)) / dx = 2 * sin(2^x) * cos(2^x) * ln(2) * 2^x.

Шаг 2: Найдем производную функции 2^(x^2).

Чтобы найти производную функции 2^(x^2), мы используем правило производной для функции a^x, где a является постоянным числом.

Производная функции a^x равна ln(a) * a^x.

В данном случае a = 2 и x = x^2, поэтому производная функции 2^(x^2) будет равна ln(2) * 2^(x^2).

Шаг 3: Найдем производную функции Y = sin^2(2^x) / 2^(x^2).

Теперь у нас есть производные для обоих частей функции Y:

d(sin^2(2^x)) / dx = 2 * sin(2^x) * cos(2^x) * ln(2) * 2^x, d(2^(x^2)) / dx = ln(2) * 2^(x^2).

Используя правило производной частного функций, мы можем найти производную функции Y:

d(Y) / dx = (d(sin^2(2^x)) / dx * 2^(x^2) - sin^2(2^x) * d(2^(x^2)) / dx) / (2^(x^2))^2.

Подставляя значения производных, мы получаем:

d(Y) / dx = (2 * sin(2^x) * cos(2^x) * ln(2) * 2^x * 2^(x^2) - sin^2(2^x) * ln(2) * 2^(x^2)) / (2^(x^2))^2.

Теперь у нас есть выражение для производной функции Y = sin^2(2^x) / 2^(x^2).