Question

Вычилить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x-x^2

Answer 1

Сначала нужно построить графики функции. А вообще говоря, при построении функций в задачах на площадь нас больше всего важны точки пересечения линий. Для этого найдем точки пересечения графиков.
$x^2=2x-x^2\\ 2x^2-2x=0\\ 2x(x-1)=0\\ x_1=0\\ x_2=1$
Если на отрезке $[a;b]$ $f(x) \geq g(x)$, где $f(x),g(x)\,\,\,-$ непрерывные функции, то площадь фигуры ограниченной графиками  функций и прямыми $x=a,\,\,\, x=b$, можно найти по формуле:
   $\int\limits^b_a {(f(x)-g(x))} \, dx$
В данном случае:
$\int\limits^1_0 {(2x-x^2-x^2)} \, dx = \int\limits^1_0 {(2x-2x^2)} \, dx =\left (2\cdot \dfrac{x^2}{2} - 2\cdot \dfrac{x^3}{3} \right)|^1_0=$
$=1- \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ кв.ед.


Ответ: $S= \dfrac{1}{3}$ кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y=x^2\) и \(y=2x-x^2\), нужно найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади между ними.

Найдем точки пересечения графиков:

1. Сначала найдем точки пересечения, приравняв уравнения \(y=x^2\) и \(y=2x-x^2\): \[x^2 = 2x - x^2\]

2. Решим это уравнение: \[2x - 2x^2 = 0\] \[2x(1 - x) = 0\]

Отсюда получаем два возможных решения: а) \(2x = 0\), тогда \(x = 0\) б) \(1 - x = 0\), тогда \(x = 1\)

Получаем две точки пересечения: \((0, 0)\) и \((1, 1)\).

Вычислим площадь между графиками:

Для вычисления площади между кривыми можно использовать определенный интеграл от \(x_1\) до \(x_2\) для разности функций: \(\int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) - функции, ограничивающие область, а \(x_1\) и \(x_2\) - точки пересечения.

Подставим уравнения кривых:

Таким образом, для нашей задачи площадь можно вычислить следующим образом: \[S = \int_{0}^{1} ((2x-x^2) - x^2) dx\]

Выполним интегрирование:

Выполним интегрирование, чтобы найти площадь фигуры: \[S = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^2) dx\] \[S = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx\] \[S = \left[x^2 - \frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{1}\] \[S = \left[(1) - \frac{2}{3}(1)\right] - \left[(0) - \frac{2}{3}(0)\right]\] \[S = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=x^2\) и \(y=2x-x^2\), равна \(\frac{1}{3}\) квадратных единиц.