Question

Найдите частное решение дифф. ур-я y" - 5y' = 0

Answer 1

Решаем характеристическое уравнение: k^2-5k=0 <=> k*(k-5)=0 <=> k1=0 и k2=5, тогда решением уравнения будет
$y=A*e^{0*x}+B*e^{5x} \\ y=A+B*e^{5x}$
при А=1 и В=1 получим частное решение
$y=1+e^{5x}$

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения y'' - 5y' = 0, мы можем предположить, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - некоторая константа.

Тогда y' = re^(rx) и y'' = r^2e^(rx).

Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем:

r^2e^(rx) - 5re^(rx) = 0

Факторизуя это уравнение, мы получаем:

r(re^(rx) - 5e^(rx)) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения r:

1) r = 0 2) e^(rx) - 5e^(rx) = 0 e^(rx)(1 - 5) = 0 e^(rx)(-4) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: r1 = 0 и r2 = -4.

Соответственно, частное решение будет иметь вид:

y1 = e^(0x) = 1 y2 = e^(-4x)

Итак, частное решение дифференциального уравнения y'' - 5y' = 0 будет иметь вид:

y(x) = c1 + c2e^(-4x), где c1 и c2 - произвольные константы.