Question

Среднее арифметическое нескольких различных чисел меньше большего из этих чисел. Верно или нет

Answer 1

Это утверждение верно.

Для тех кому интересно, ниже приведено доказательство. 

Утверждение: 

Пусть $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ различные вещественные числа. 

Тогда, среднее арифметическое данных чисел, меньше большего из этих чисел. 

То есть, выполняется:

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}\ \textless \ \max\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$

Доказательство:

Предположим, не исключая общности, что $a_n=\max\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$.

Тогда выполняется: $a_i \leq a_n$ (для всех $i\in \mathbb N$, таких что $1 \leq i \leq n$).

Откуда следует: 

$\displaystyle a_1+a_2+a_3+...+a_n \leq n\cdot a_n$

То есть,

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \leq \frac{na_n}{n}=a_n$

Однако, данные числа различны. Следовательно:

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ \textless \ a_n =\max\{a_1,a_2,...,a_n\}$

Ч.Т.Д.

Answer 2

Верно. Среднее арифметическое нескольких различных чисел всегда будет меньше, чем самое большее из этих чисел. Это можно легко доказать математически.

Предположим, у нас есть несколько различных чисел: a1, a2, a3, ..., an, где ai - это i-е число в последовательности.

Тогда среднее арифметическое этих чисел можно найти по формуле: (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n.

Предположим, что a1, a2, a3, ..., an - это все различные числа, и пусть a1 < a2 < a3 < ... < an.

Тогда сумма a1 + a2 + a3 + ... + an будет меньше, чем n * an, так как каждое из чисел a1, a2, a3, ..., an меньше или равно an.

Таким образом, среднее арифметическое (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n будет меньше, чем an.

Таким образом, среднее арифметическое нескольких различных чисел всегда будет меньше, чем самое большее из этих чисел.