Question

Докажите тождествоcosa+ sin a=1/2

Answer 1

$cos( \frac{\pi }{3}+a)\cdot cosa+sin(\frac{\pi }{3}+a)\cdot sina=\\\\= \Big [\, cos \alpha \cdot cos\beta +sin \alpha \cdot sin\beta =cos( \alpha - \beta )\, \Big ]=\\\\=cos\Big ((\frac{\pi }{3}+a)-a\Big )=cos\frac{\pi }{3}= \frac{1}{2}$

Answer 2

Для доказательства тождества cos(a) + sin(a) = 1/2, мы можем использовать тригонометрические тождества.

Начнем с тождества sin^2(a) + cos^2(a) = 1, которое является основным тригонометрическим тождеством. Теперь поделим это тождество на cos^2(a):

(sin^2(a) + cos^2(a)) / cos^2(a) = 1 / cos^2(a)

Теперь заменим sin^2(a) на (1 - cos^2(a)):

(1 - cos^2(a) + cos^2(a)) / cos^2(a) = 1 / cos^2(a)

Упростим выражение:

1 / cos^2(a) = 1 / cos^2(a)

Теперь выразим sin^2(a) через cos^2(a) с помощью основного тригонометрического тождества:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Теперь заменим sin^2(a) на (1 - cos^2(a)) в исходном тождестве:

(1 - cos^2(a) + cos^2(a)) / cos^2(a) = 1 / cos^2(a)

1 / cos^2(a) = 1 / cos^2(a)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

1 / cos(a) = 1 / cos(a)

Теперь умножим обе стороны на cos(a):

1 = cos(a)

Теперь, зная, что 1 = cos(a), мы можем подставить это значение в исходное тождество:

cos(a) + sin(a) = 1/2 1 + sin(a) = 1/2 sin(a) = 1/2 - 1 sin(a) = -1/2

Теперь мы можем использовать тригонометрические значения, чтобы убедиться, что sin(a) = -1/2. Мы знаем, что sin(30°) = 1/2, поэтому sin(210°) = -1/2. Таким образом, мы доказали тождество cos(a) + sin(a) = 1/2.