Question

Решите уравнение: x3+5x2-25x-125=0 (3 и 2 в конце это степень)

Answer 1

Там простая формула
(x-5)^3=0
х=5

Answer 2

Для решения данного уравнения x^3 + 5x^2 - 25x - 125 = 0, мы можем использовать различные методы, включая метод подстановки, графический метод и метод Баха. Я расскажу о методе Баха, который является одним из наиболее эффективных способов решения кубических уравнений.

Метод Баха для решения кубических уравнений

1. В начале, мы проверяем, существует ли рациональный корень уравнения. Для этого мы используем рациональный корневой теоремы, которая гласит, что все рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 125), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

В данном случае, p может быть 1, 5, 25 или 125, а q может быть 1. Таким образом, мы можем проверить следующие значения: 1/1, 5/1, 25/1, 125/1.

2. Подставляем найденные значения в уравнение и проверяем, равно ли оно нулю при этих значениях. Если уравнение равно нулю, то это означает, что мы нашли рациональные корни уравнения.

3. Предположим, что мы нашли рациональные корни уравнения, например, x = 5. Теперь мы делим уравнение на (x - 5) с помощью деления синтетическим методом или долгим делением.

4. После деления мы получаем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью стандартных методов для квадратных уравнений.

5. Если после деления мы получаем другое кубическое уравнение, то мы продолжаем процесс, пока не получим квадратное уравнение.

6. Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения x.

Теперь, применим этот метод к нашему уравнению x^3 + 5x^2 - 25x - 125 = 0:

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Делители свободного члена 125: 1, 5, 25, 125 Делители старшего коэффициента 1: 1

Проверяем значения: 1/1, 5/1, 25/1, 125/1

Шаг 2: Подстановка значений

Подставляем значения в уравнение: 1/1: (1/1)^3 + 5(1/1)^2 - 25(1/1) - 125 = 1 + 5 - 25 - 125 = -144 5/1: (5/1)^3 + 5(5/1)^2 - 25(5/1) - 125 = 125 + 125 - 125 - 125 = 0

Шаг 3: Деление на (x - 5)

Так как у нас есть рациональный корень x = 5, мы делим уравнение на (x - 5): (x^3 + 5x^2 - 25x - 125) / (x - 5)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

После деления, мы получаем квадратное уравнение: x^2 + 10x + 25

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение или формулу дискриминанта.

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение x^2 + 10x + 25 = 0.

Факторизация: (x + 5)(x + 5) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = -5 и x = -5.

Ответ

Итак, решение исходного кубического уравнения x^3 + 5x^2 - 25x - 125 = 0 состоит из трех корней: x = 5, x = -5 и x = -5.