Question

Найдите корни уравнения √3sin2x=cos2x, принадлежащие отрезку [-1; 4]

Answer 1

Делишь всё на соs2x
получиться √3tg2х=1
потом получиться tg2x=1/√3
и х=π/12=πn/2
и ответом будет
-5π/12, π/12, 7π/12, 13π/12

Answer 2

Для начала преобразуем уравнение √3sin2x=cos2x. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

3sin^2(2x) = cos^2(2x)

Затем используем тригонометрические тождества:

3(1 - cos^2(2x)) = cos^2(2x)

3 - 3cos^2(2x) = cos^2(2x)

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

4cos^2(2x) - 3 = 0

Теперь решим это уравнение. Пусть t = cos(2x), тогда уравнение примет вид:

4t^2 - 3 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем два корня:

t1 = √(3/4) = √3/2 t2 = -√(3/4) = -√3/2

Теперь найдем значения углов x, для которых cos(2x) равен этим значениям на отрезке [-1, 4]. Так как cos(2x) принимает значения от -1 до 1, то можно найти значения x из уравнения:

cos(2x) = √3/2 2x = arccos(√3/2) + 2πk или 2π - arccos(√3/2) + 2πk, где k - целое число

Решая это уравнение, получаем значения x:

x1 = (arccos(√3/2) + 2πk)/2 x2 = (2π - arccos(√3/2) + 2πk)/2

Аналогично для второго корня:

cos(2x) = -√3/2 2x = arccos(-√3/2) + 2πk или 2π - arccos(-√3/2) + 2πk, где k - целое число

Решая это уравнение, получаем значения x:

x3 = (arccos(-√3/2) + 2πk)/2 x4 = (2π - arccos(-√3/2) + 2πk)/2

Теперь подставим значения k от -1 до 4 и найдем соответствующие значения x. После этого проверим, какие из них удовлетворяют условию принадлежности отрезку [-1, 4].